Reprenons la formule
on peut en déduire que si la dérivée d^une fonction est nulle pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b, cette fonction a une valeur constante dans cet inter-valle.
Nous supposerons a <^b. Puisque linij =o par
hypothèse, on aura, pour une valeur quelconque de x
comprise entre a et i, j <[ e en valeur absolue , pourvu
que h soit suffisamment pelit*, s étant d'ailleurs une quantité déterminée qu'on peut prendre aussi petite que l'on voudra. On déduit de là
Considérons actuellement deux valeurs quelconques de X, Xi et Xj, comprises entre a et J^ je dis que les valeurs y j etj-, correspondantes seront égales. En effet, donnons àx une suite de valeurs comprises entre Xj et Xf , croissant d'ailleurs par degrés égaux ou inégaux , mais assez petits pour que l'on ait, pour une quelconque de ces valeurs, k <^eh^ k étant pris en valeur absolue. Nous aurons ainsi une suite d'inégalités de la même forme ^ et si nous les ajoutons , il en résultera que la somme des accroissements successifs de la fonction j^ pris tous positivement sera plus petite que la somme des produits cA, c'est-à-dire plus petite qi;e le produit de la quantité e par la somme des accroissements de la variable x, savoir x, — Xf. Donc à fortiori la somme des accroissements successifs de la fonction pris avec leurs signes, ou j't — ji , est plus petite que e {Xf — Xi ) , donc
et commie e peut être rendu aussi petit que l'on voudra,
i6 COURS d'analyse.
il s'ensuit quejj — ji est plus petit que toute quantité
donnée , c'est-à-dire
j-2 — /, = o, ou ri=/,.
La fonction^ conserve donc la même valeur pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle considéré. Ce qu'il fallait démontrer.
19. Le rapprochement des deux propositions précédentes conduit encore à cette conclusion, que si nnefonction est croissante dans un certain inten^alle, sa dérivée ne peut devenir négative dans cet intervalle; mais elle peut passer une ou plusieurs fois par zéro. De même, si une fonction est décroissante, sa dérivée sera négative, mais elle pourra s'annuler pour une ou plusieurs valeurs particulières.
20. Si la dérivée d'une fonction était constamment infinie, x serait une constante, car si
on a lim -=^ o,
AT
et en répétant les mêmes raisonnements , on en déduit que deux valeurs quelconques de x, Xi et x^ , sont égales.
21. Nous avons désigné jusqu'ici les accroissements simultanés des variables x et y par les lettres A et A; mais comme on aura bientôt à considérer un plus grand nombre de variables, il devient nécessaire d'employer une notation qui rappelle toujours à quelle variable se rapporte chaque accroissement. On se sert à cet effet de la caractéristique A. Ainsi , quand on considère plusieurs variables x^ y^ z^u liées entre elles par des équations de manière qu'une seule soit indépendante, on représente les accroissements simultanés de ces variables par Ax, Ay, Az, Am. Si l'on prend x pour variable indépen-
DteCXŒME LEÇON. 1^
dante, les "rapports
^y àz au Ax Ax ^x
auront pour limites respectives
dy dz du dx dx dx
quand Ao: décroîtra indéfiniment.
22. Si dieux fonctions sont égales pour toutes les va^ leurs de la variable indépendante , leurs différentielles ou leurs dérivées sont égales.
En effet , soient m et i^ deux fonctions égales de x. Donnons à a: un accroissement Ax; soient Au et Ailles accroissements correspondants de li et de f^ -, on aura
€t comm« M = i^ , on en déduit
j, , au àv
d ou — = —
àx Ax
Cette équation ayant lieu quelque petit que soit Ax, aura
lieu encore à la limite: or la limite de -— estla dérivée de
^ Ax
« ou -r- : de même la limite de --- est -r^ : donc dx Ax dx
da d0 , -
-7- = -r- ou du = du.
dx dx
Le même théorème subsiste quand les deux fonctions
proposées ont une différence constante; car, soit
en changeant x en x 4- Ax, on a
tt 4- A a == p + A p + c ,
et comme u = ï^ -h c , on en déduit encore
Au Ap Az< = Ap, =r — ;
Ax aj:'
du dv par suite , -—-=-- ?
* ' tlx dx
i8 COURS d'analyse.
ou enfin <Ju = dv^
c'est-à-dire que deux fonctions qui ne diffèrent que par
une constante ont la même différentielle»
23. Réciproquement, si les différentieUes de deux fonctions sont égales entre elles dans un certain inten^alle, ces fonctions auront dans cet intervalle une différence constante*
En effet, soit j^ la différence u — v^-^ et supposons que
Ton ait
du dv
dx dx De réquation y ^^^ u — p
on tire / 4- ^y = u -\- ^u — i^— ào^
ou Ayzzilu — Ap,
^x ùkX A X
ou enfin , en passant à la limite ,
dr du dv
dx dx dx
Ainsi -j- est nulle, et par siiitey est une constante. Ce qu'il fallait démontrer.
