Quand on a

« = ?(/)> y étant elle-même une fonction de x^f[x) , on dit que u est une fonction de fonction de x.

Pour obtenir la dérivée de u par rapport à jc , on pourrait remplacer j' par/ [x) dans tf [y) , ce qui donnerait

mais il est possible d'éviter cette substitution. En effet, on a réquation identique

Aw A« A/

ùkx Ê^y A a

t>EUXlÈME LEÇON. I9

dans laquelle Ax étant F accroissement de la variable indépendante, Aj^ et Au sont les accroissements correspondants de u et dey. Si l'on suppose que .r diminue indéfiniment, l'égalité ayant toujours lieu, aura encore lieu

à la limite. Or lim — , c'est la dérivée de u par rapport à

xo\x-r-i lim -i = /' (x) : quant à la limite de — j c'est dx Aa: "^ ^ ' ' ^ à^y

?' {j) ^^ ^* dérivée de ^(y) dans laquelle y serait considérée comme variable indépendante, car cette limite ne dépend pas de la relation qui existe entre y et x, et il suffit, pour qu'on l'obtienne, que Ay décroisse jusqu'à o. Donc

Ainsi la dérix^ée d"" une fonction de fonction est égale au produit des dériv^ées de ces fonctions .

25. On peut écrire l'équation (i) sous une autre forme ; en effel, si Ion y remplace/' [x) par -^> on aura

et, par suite,

du = ff' [y) dy.

Sous cette forme on voit que la différentielle Ae(f{y), y étant égale à f{x)^ s'obtient en prenant la différentielle de <f {j) comme si y était la variable indépendante; car dans cette hypothèse la différentielle de Q) [y) est y' {y)àY\ seulement il faudra avoir soin dans l'application de remplacer dy par sa valeur y [x) dx.

26. Enfin, on peut mettre encore l'équation (i) sous une autre forme , en remarquant que

on a

du du dy

dx dy dx

11 ne' faut pas croire que cette équation soit une identité 5 car dy n'a pas la même signification dans — et dans

-^: dans la première expression, éfy désigne F accroissement infiniment petit dej^ regardée comme variable indépendante -, tandis que dans l'autre, dy est la différentielle de y considérée comme fonction de x.

Soit comme exemple

uz=y"^ y =z sjx^ — a* ;

d'où u = (v/^'— «»)"= [x^^a^f.

On aura J.j'"= my^~^ dy^ et^ puisque y = \/x* — a',

dr= . dx;

donc

du = m( v^x»— û')'""* , ^ = m (Jx' — aA"^^ xdx.

yjx^-^a^