Soit maintenant

on a d{ufrz) = uzdu-^- ud{vz), d (vz) = zdp-^ vdz\

donc

d[upz) = vzdu -4- uzdv -h uvdz.

On voit que la différentielle du produit de trois fonc-^ tions s'^ohtient en multipliant la différentielle de chaque fonction par le produit des autres fonctions y et ajoutant les résultats.

Cette règle est générale. Ainsi Ton aura d{uvz .,.t)=:v&».^.tdu-huz.,.tdu-^Uff.,, tdz -f- . . . -hap. . . dt OU, en divisant par uy^z... î,

diuvz. . . /) du dif dz dt

UVZ. , .t U V z t

On démontrera cette formule, soit directement, soit en faisant voir que si elle est vraie pour un certain nombre de fonctions, elle aura encore lieu pour une fonction de plus.

TROISIÈME LEÇOM. ^3

tMfTérentî^e d'un quotient, d'aae pnifsance. — DifTérentielle d*une expression imaginaire. — Applications diverses.— R^Iespoar la difTérenliation des fonctions composées.

DIFFÉREDTIELLC d'xJW QUOTIEHT.

32. La différentielle d'un quotient peut se déduire facilement de la différentielle d^un produit. En effet, soit

on en tire j^p=a,

tt, par suite , ody '^ydQ::^:. dn.

On remptace j" par sa valeur - et l'on obtient

vdy H — dp z=z dtt^

d'où l'on tire

,« pdu'-^udp dr ou tf-= •

Ainsi la differentietle if un quotient est égale au déno^ nUnateur multiplié par la différeruielle du numérateury moins le numérateur multiplié par la différentielle du dénominateur: le tout divdsé par le carré da dénomina" teur.

On peut encore arriver à ce résultat par une méthode plus directe. En effet, on a

ou Ay =

P au U iiV

Att A p

, ày Ax- Aj:

€t, parconseciuent, — = — -. — --- — p;

2fc{ COURS d'aIîALYSE.

passant à la limite, -~

du dv

dx dx

dx p'

vdu — udv

stant, la différentielle se réduirait à

ou enfin «/r ou c? - =

On peut reniarquer que si le numérateur u était con-

udv

DIFFÉRENTIELLE d'uWE PUISSANCE.

33. Soit j^ = u"*, m étant un nombre entier et positif^ nous avons vu que

d{uvz, • .^) = uvz, . ,tdu -h uz, . ,tdi>-\- , . .-h uvz, . .dt. Supposons que ces facteurs au nombre de m deviennent tous égaux ; on aura

d.u^z=z mu'^^^ du.

Ce résultat est aussi une conséquence immédiate de la règle pour différentier les fonctions de fonctions. On sait que si Ton a

r = ?(«) et uz=/{x),

on aura dy z=z t^' (u) du -^

donc , puisque d.xf^zz: m3f^-\

on aura aussi d, w" = mii!^^^ du.

Voici enfin une troisième méthode, plus directe que^ les précédentes. Donnons à a: un accroissement quelconque et soit U ce que devient m 5 nous aurons

et, à cau«e de j^ =;= m*^,

ou ^ = ^ (U'»-'-h U™-» ttH- . . . -h w"-').

Si l'on passe à la limite, U se confondant alors avec m,.

on a

dy du . . ,

— = -7- X ww*"" ' ou dy = /wa"*-' du dx dx