i hd.c cdx dy :=: - bx dx ■+ c^"' dx = 7= H

dr:

TROISIÈME LEÇOM. ^7

d OU Ion Ure -.- = — 7=. -+- -; •

OU ^ r= « 4- hx' » — ex » -h ex" •

Difïerentiant, on a

\^ 3xV^» 3x»V* ^* / ' douenfin, 5^ = - 3^^ + ^;^ - ^

Posons a-\'h3f=^u\

on a y ^=^ur*y

par suite, rfj = mw-"-' fl^« .

Qr fia=s:nbx''-^€ix;

donc 4?" = '"^^ (« -+• ^■a?")"-' ^'"' ^/•^•

Voici encore quelques exemples, que je me dispenserai

de développer.

(3rt — 2x)v^^

2 ^(û — xY

x'-'Xb—Jc)

'^=-3/hr-^H*+

a8 COURS d'analyse.

39. Nous allons montrer maintenant comment le calcul dififérentiel s'applique à la détermination de courbes jouissant de propriétés données.

i^. Troui^erune courbe telle, que la sous-normale îiP ait pour chaque point une longueur constante a.

On aura , en supposant les coordonnées rectangulaires, NP = MPXtangPMN,

Mais MF = j, tang PMN = tang MTN = ^ ;

donc

Il faudra donc poser Fig. 3.

NP=r^.

•^ dx

dx

donc d[^y'^)=.d[j,ax).

Mais on sait que deux fonctions qui ont la même différentielle ne peuvent différer que par une constante : donc> en appelant c une constante arbitraire , on a pour l'équation du lieu

^»= 2fl:r H-c.

Cette équation représente toutes les paraboles qui ont le même paramètre 2 a, et pour axe commun Taxe des x^

2^. Trouver une courbe dont la sous-^normale soit une puissance donnée de l'abscisse.

On aura alors

d.^z=id.

rou

'-hc.

3**. Trouver une courbe dont la sous-tangente PT soit en raison inverse de l'ordonnée.

Cette courbe a pour équation différentielle

puisque l'on a PT = MP cot MTP = -^ .

On tire de cette équation dx=i'^—^* Or -=:^..

donc X = h c,

ou ar^ — c/ = — a^

Ainsi le lieu est une hyperbole équilalère dont une asymptote est l'axe des x et l'autre asymptote est une parallèle à l'axe desj^.

4^. Si l'on cherche la courbe dont la normale MN est constante y il faudra poser

d'où ^-^^.f^zry^

d'où a:= — s/ô'— j*-+- <:,

et enfin [x — c)^-h7* = a'.

Ainsi la courbe cherchée est un cercle dont le rayon est a et dont le centre est sur l'axe des x,