DIFFÉREHTIATIOIÏ DES FONCTIONS COMPOSÉES

40. Après avoir vu comment on différentie une fonction de la variable indépendante , nous allons différentier une fonction composée de plusieurs fonctions de cette va-

3o COURS d'analyse.

riable, et d^abord de deux. Ainsi , soit

u et ^' étant deux fonctions de la variable indépendante; X devenant j:4- Ax, m, v^ y deviennent respectivement u+ùku^ ^^-^-A^', j^-h ùkj. Mais au lieu de changer à la fois 1/ en M 4- Aw, et p en p-h A^* dansy(tt, v)^ il revient au même d'effectuer ces deux changements Fun après l'autre. On aura d'abord, pour la différence entre les deux états successifs àey^

Divisons ce résultat par Ai/, et passons à la limite, en regardant i^ comme invariable. On aura

On aurait , de même ,

de là on conclut que , a et 6 représentant des fonctions qui s'évanouissent en même temps que A j: , on a

(l) /(«-f-Aw, p)— /(«, p) = [ç(«,p)-+-a]A«,

Changeant u en ix + Am dans (2)? il vient

/(w-f- Am,p-+. Ap)— /(/<4- Aa,p)

^ ' I =[r|;(a4-Atf,p) 4-6']Ap,

6' désignant ce que devient 6 quand on y change u en M 4- Au, et s' annulant comme ë en même temps que Ax> Ajoutant maintenant (i) et (3) membre à membre, et divisant par Ax, on a

/(a-h A«^, p-f- Ap) —/(«, <0

TROISIÈME LEÇON. 3l

ce qui devient, à la limite ,

dy , .du . . . dv

ou dy z= ff[u^ v)du -^^ ^[Uyv) dvj

ou enfin

flr z=: -^ du -h -T- fi^' du fh

Il faut seulement observer que, dans -r- et -f-? m et i'

^ du dtf

doivent être considérées comme des variables indépendantes, tandis que, dans les facteurs du et dv^ qui multiplient ces dérivées partielles , on doit regarder ii et i^ comme des fonctions de x,

41. Le même théorème subsiste pour une fonction d^un plus grand nombre de fonctions de la variable indépendante. Ainsi , soit

On a

Aj==/(tf -I- Aa,p -h A*', 2 H- A«) —/(«,«;, 5).

Si l'on pose 5â "^ ^ ^"' *'* *^ '

on aura, d'après les considérations qui précèdent,

(1) /(« -4- Atf , p, z) —f{u, «', 2) = [ep [u, V, z) 4- a] A«,

(2) /(u,v-^AVyZ) ~/(a,P,5;)=[>î;(a,r,z)4-6]AP,

(3) /{u,v,z-{-àz)^/{u,P,z) = [x(u,v, z)-hy]àz.

Faisant varier u dans (2), on a

^*^ ( = [^|; (m 4- A«, p, z) -f 6'] Ap.

Faisant varier i* et l' dans (3), on a

/(m- A«,f 4- Ac,z 4- A3) — /(w -h A«,(' H- Af, 2)

^ ^i =[x(a4-A«,c^4-Ai',z)4-7']^=^-

Ajoutant (x), (4) et (5) membre à membre , el divisant par Hx , il vient

-4-[x(a -h Aa, c^ -h Ap, 2) 4- /] -î, et^ à la limite, on a

ou enfin.

du dv dz

De là on peut conclure en général que la différentielle d'une fonction y d'un nombre quelconque de fonctions de la variable indépendante s^ obtient en prenant succès-* si^ement la différentielle de la fonction y, par rapport à chaque fonction de la variable indépendante, dans la-^ quelle seule cette variable serait supposée varier, et ajoutant toutes ces différentielles.

Cette règle donnerait la différentielle d'un produit de fonctions considéré comme une fonction de ses facteurs.

Notions générales sut les séries. — Théorèmes sur la convergence des séries. — Application à des exemples. — Limite de I i •+-- j •