JVOTIONS GÉNÉRALES SUR LES SÉRIES

42. Avant de passer à la diffërentîatiou des fonctions transcendantes, il est nécessaire d'établir quelques nolions générales sur les séries.

Une série est une suite composée d'un nombre infini de termes formés tous d'après une loi déterminée. S„ représente, en général, la somme des n premiers termes d'une série. Ainsi, i/i, m», Us,...^!/;, désignant divers termes successifs de la série, à partir du premier, on a

Si, à partir d'une valeur de n suffisamment grande. S» approche indéfiniment d'une limite finie et déterminée, quand on prend n de plus en plus grand, la série est dite côrn^ergente, et la limite S vers laquelle elle tend, est dite la somme de la série. La différence S — S„ , que 1 on désigne par R„, est appelée le reste de la série. On a dont, par définition,

R„ = S — S„, où S=:S„-hïV;,.

Si, au contraire, la somme des n premiers termes n'approche pas indéfiniment d'une limite fixe, quand n augmente indéfiniment, la série est divergente.

Une des séries les plus simples est la progression géo-^ iftétriqu-e

Cette série est convergente , si la raison k est plus petite que Funité. En effet, on a, quel que soit Â%

S, = û 4- flX' -f- ûf/^ + . . . 4- fl/"-' = "-- ' "" ,

ou

Or on voit que si k est moindre que Tunité, peut devenir aussi petit que Ton voudra , et dès lors -— -~ = S sera la limite vers laquelle tend S„. Si, au

contraire, /r > i , j^ peut surpasser toute quantité donnée, et la série est divergente. Il en est de même si