THÉORÈMES SUR LA CONVERGENCE DES SÉRIES
43. La somme dVne série convergente est une quantité déterminée qui souvent n'est pas susceptible d'une autre expression : elle peut être employée dans le calcul comme une fonction des lettres qu^elle renferme. Il est donc important de savoir si une série est convergente. Voyons donc en général comment on pourra reconnaître ce caractère.
Pour qu'une série soit convergente, la condition néces^ saire et suffisante consiste en ce que la somme é[un nombre quelconque de termes au delà du n*^™**, u„, soit aussi petite que Von voudra^ sin est suffisamment grand. Cette condition est nécessaire puisque , les deux sommes S„ et S„^.; devant converger vers la même limite lorsque n est de plus en plus grand, leur différence doit tendre vers o. Elle est suffisante, car si
est compris entre — t et 4- e, S^+i sera comprise entre S„ — 6 etS„4-e, limites qui se rapprocheront de plus en plus à mesure que n augmentera, / restant le même, mais pouvant d'ailleurs être supposé aussi grand qu'on voudra*
44. De cette condition fondamentale résulte la suivante : qu'à partir dun terme u„, n étant assez grand^ les termes doii^ent finir par devenir plus petits que toute
çuàntàé donnée. Mais cette condition, qui est nëces^ saire, n'est pas suffisante. Ainsi Texemple ci-dessous offre une série dans laquelle cette condition est évidemment remplie, mais qui n'est pas néanmoins convergente ,
car, en mettant la sonmie de la série sous la forme
on voit que chaque partie renfermée entre parenthèses est plus grande que-» et comme il y en a une infinité, la série a nécessairemetit une somme infinie.
45. En général, pour reconnaître si une série est convergente , on compare ses termes , à partir d'un certain rang, à ceux d'une autre série qu'on sait être couver-gente, et s'il arrive que les termes de la première soient inférieurs ou au plus égaux à ceu^ de la seconde , alors cette première série est com^ergente. On peut se dispenser de comparer les premiers termes.
En comparant une série à une progression géométrique^ on est conduit aux théorèmes suivants.
46. Théorème I. — tJne série dont tous les termes^ ou du moins les termes très-^éloignésy sont positifs, est convergente si y à partir d'un certain terme ^ le rapport d'un terme quelconque au précédent est plus petit qu'un nombre déte/miné k , qui est lui-même plus petit que l'unité.
Ainsi, supposons qu'à partir de u^ cette condition soie remplie. On aura , m étant plus grand que n ,
et à fortiori , w,«^2 <C ^ ' "w >
de même u^^^ <^ X^ «« ,
on aura donc
«m+i 4- nn,+2 -+- ««I4-.» 4- ... -H a«+, <« m ( X- -hX '-h^^-4- . . 4- X' ).
Donc Unt+i -+- W«H-i -h . . . -f- «m+i< «
Or
est une quantité finie ^ quelque grand que soit /, puisque fc <; 1 -, d'ailleurs w,„ <[ A'""'* ii„ peut devenir plus petit que toute quantité donnée, en prenant m assez grand ; par suite Wrii+i + "«+« 4- • • • -1^ Um^ peut devenir inférieur à tout ce que l'on voudra, en prenant m suffisamment grand. Donc la série est convergente.
Au contraire , elle est divergente si Ton a A > i .
Effectivement, si à partir de u„ cette condition est remplie , les termes deviennent de plus en plus grands.
47. Théorème II. — Une série est cons^ergente , si à partir d 'un certain terme on a constamment
En effet, on aura , d'après cette condition ,
Ua+i -h «n+-2 -<-...-+- ««+, < X-«+' -h Z^"-^' H- ... H- X"-^S
ou bien w„+, -+- ««+2 -+-...+- K+i < k" -— ;
d'où Ton conclut , comme précédemment , que la série est alors convergente.
Au contraire , la série est divergente , si l'on a toujours, à partir d'un certain terme ,
;/lin>k>i.
Et, en effet, comme de là on déduit w„ > A", il s'ensuit qu'en prenant n suffisamment grand, m„, et à fortiori le reste de la suite , sera plus grand que toute quantité donnée.
48. On a supposé jusqu'à présent que tous les termes de la série, ou du moins les termes très-éloignés , étaient positifs. Soit maintenant une série dont les termes aient des signes quelconques.
Si la nouvelle série qu'on obtient en prenant positivement tous les termes au delà d'un certain rang est convergente, la série proposée le sera aussi. Effectivement, le reste de la série donnée a une valeur absolue moindre que le reste de la série transformée; par conséquent, il peut devenir moindre que toute quantité donnée.
Cette condition de convergence est suffisante , mais non pas nécessaire.
49. Théorème III. -r Une série est corn^ergente quand les termes éloignés sont alternativement positifs et négatifsy et vont en décroissant indéfiniment.
En effet, supposons que celte loi se vérifie , dans la série
à partir d'un terme i/„^i que nous supposerons positif. Appelons U„,.i5 U^j, Un+s, etc., la valeur absolue des termes z/,^i , u^+i , z/„^3 , etc. On aura , p étant ^ n ,
S^= S„-4- (iw, — U„+,) -+. (U„+3 " u„+«) +. . . • On voit par là que
On a aussi
S^ = S„ -f- \Jn+, — ( U„+, -- U„+, ) — ( U„^, — U„4-s )
Sous cette forme , on voit que
Sp <C. S„ -f- Un|i ; donc on a
Sn<S^<S„-hU«+,.
Donc Sp est toujours compris entre S„ et S„ H- U#^i , et comme U„^i peut devenir aussi petit que Ton voudra, la série est convergente.
50. On considère quelquefois , dans le calcul , des séries imaginaires de la forme
Cette série sera convergente, si les deux sommes
sont convergentes.
