Le nombre e est la limite vers laquelle tend la

quantité ( i H J quand m croît indéfiniment»

Supposons d^ abord m entier et positif. On a

hir=

I m(m — i) I m 1.2 nn^

Les termes de ce développement au nombre de m sont

tous, à partir du second, plus petits que les termes de même rang d^ la série qui représente le nombre e, et ils

augmentent avec m, d'où il suit que ( iH — j augmente

avec wi, en restant toujours <]e. Les numérateurs des premiers termes, qui sont

m \ w/ \ mj

tendent indéfiniment vers Tunité, quand m croit jusqu'à Finfini; et, par conséquent, ces termes tendent à devenir égaux à ceux de la série

Mais il n'en est pas de même pour les termes très-éloignés) car si, par exemple, 7t — ^ i était la moitié de m , le

facteur i-^ j dans le n'^"^ terme, aérait -» et le

niunérateur de ce terme serait <[ — Cependant, en pre-*

nant m très -grand, et négligeant dans les deux sé^ ries les termes très -«éloignés qui font une très-pçtit^ somme, on conçoit que Tune des séries difierc infini-»

ment peu de l'autre, et qu'ainsi ( i H j doit s'appro-?

cher indéfiniment de e.

53. Au surplus , en voici la démonstration trèa^rigou-» reuse. En s'arrêtant au n**'"' terme, on a

1 (.-l)(.-ii)

m \ mj \ mj

et

44 couus d'analyse.

Quelque grand qiie soit n , on peut prendre le nombre m, qui est indépendant de n, tellement grand, que le numérateur

qui est <; 1 , soit > i — e, e étant un nombre déterminé aussi petit qu'on voudra. Car ce numérateur étant

^ I I j , il suffira de poser

d'où Ton tire m >

Alors, dans le développement de ( i H ] > les numérateurs des termes jusqu'au w'^"** étant tous >i — e, on aura , en les remplaçant par i — s et négligeant les termes qui suivent le w'*"*',

et à fortiori

/ i\'" II I

puisque la somme

(qui multiplie s) est

<-H h... ou <i.

On a d'ailleurs

Ayant ainsi deux quautltés qui renferment entre elles

c et li-\ ) ,011 aura, en comparant les différences,

^— (i-h— I < ^ --He,

\ ml 1 .2.3. . ./i /i

et comme on peut supposer n aussi grand et s aussi petit

qu'on veut, en faisant croître m à Tinfini, ou voit que c

est la limite vers laquelle tend ( iH | •

54. Il en est de même si m cesse d'être un nombre entier. Dans ce cas, m tombe entre deux entiers conséculils p et /? -h I , et l'on a

et

(■+i)'>('+^)'"<'+jiT)-

Quand m croit, ces deux quantités, entre lesquelles la

valeur de ( iH ) est toujours comprise, tendent l'une

et l'autre vers la limite e (puisque p est entier). Donc (iH ) a la même limite.