Le nombre e est incommensurable. En effet, si e

était un nombre commensurable yî on aurait

ai I I

On en tirerait, en faisant passer 2 -f- — 4- ... H r; — ;

dans le premier membre, multipliant par i . 2 . 3 . . . £,

et désignant par N un nombre entier,

On a donc

D'ailleurs

ô 4. , ■+" [ï + , ) (^ 4- 2) "^ • • '"^ 6 4- t ■**" (^ -f- 1)' "^"'' donc

On aurait ainsi urt nombre entier compris entre o et j^ ce qui est absurde^ e est donc incommi^nsurable.

Différentiation des fonction» logarithmiques et exponentielles.— Des fonctions circulaires directes et inverses.

DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS LOGARITHMIQUES ET EXPONENTIELLES»

57. Soit j^ le logarithme de x dans le système dont la base est a, de sorte que

Si j: devient j: 4- ùkX^y devient j -f- Aj, et l'on a

j-hAj = log(a--4-Aj:),

d'où Aj = log(x4-A«) — logx = log ( I -♦-— J Ax A X

Si l'on pose Ax :^ - > on aura

Si Ton fait croître m indéfiniment, A a: diminuera jusqu'à zéro , et f 1 H — ) atteindra la limite e 5 donc

,. A r dy la

lira — =^ ou — - = - log e, ^x dx X ^

itx d'où dy ou d . loga:=: — log e.

58. Quand on prend e pour base, les logarithmes appartiennent à ce qu'on appelle le système népérien : nous les désignerons par L

Dans ce système, on a le = i , et, par suite,

48 COURS D^AfiALYSE.

Il est facile de passer d'un système quelconque au système népérien, et vice versa.

En effet, Téquation

j: = a/ donne ï .r = j 1 « = log ar 1 « .

En faisant ici a: = e, il vient

I =: log € 1 rt,

d'où lo*» e=z-—',

puis logj- =:].rX j— = l^Xlogc.

Le facteur constant— ou log e , par lequel il faut multiplier les logarithmes népériens des nombres pour avoir leurs logarithmes dans un autre système dont la base esta^ est appelé le module de ce dernier système. Quand on prend la base a= lo, le module est

log e = 0,4342945.

En multipliant les logarithmes des Tables ordinaires

par ou 1 10 qui est 2,3o2585i, on aura les logarithmes népériens.

S9* La règle de différentiation des logarithmes est souvent utile pour difïérentier d'autres fonctions.

Ainsi, on peut s'en servir pour diffërentier u"\ quel que soit m, u étant une fonction de la variable indépendantCi On pose

y =z a", d'où \ y = m\ u,

et en différentiant, il vient

dr du

ou d ( ti"* ) = m u"'~ ' du .

Soit encore un produit de plusieurs fonctions de x^ tel que}' = i/i^z.

Comme il pourrait y avoir des facteurs négatifs ^ élevons au carré, et prenons les logarithmes; il viendra, après avoir différentié et divisé par 2,

dy du dv di y u V z

résultat déjà obtenu par une autre méthode.