DIFFÉREXTTIATION DES FONCTIONS IMPLICITES
74-. Nous avons vu qu'on nomme fonctions implicites celles qui sont liées à la variable dont elles dépendent par une ou plusieurs équations non résolues.
Supposons d'abord deux quantités x et y liées entre elles par une seule équation
/(x,7) = o; et supposons que x soit la variable indépendante. On
peut trouver dy ou-j- sans être obligé de résoudre l'équation par rapport à y. En effet , si Ton tirait de cette équation la valeur de y en fonction de x^ y = (f (x), en mettant cette valeur à la place dey dansy(x, 7), on aurait identiquement
Donc la différentielle de /(x, y), prise en regardant y comme une fonction dex^ doit être identiquement nulle, et, d'après la règle qui sert à différentier une fonction composée, on a
d'où l'on tire
df
dy dx dx~ df'-
dy
58 coufis d'analyse.
Ainsi , la dérivée de la fonction implicite y s'obtient en divisant la dérivée du premier membre de l'équation par rapport à x, par la dérivée de ce membre prise par rapport à y et en changeant le signe du quotient,
75. A Faide de la règle précédente, on peut, lorsqu'on a l'équation d'une eourbe sous la forme
obtenir le coefficient angulaire de la tangente en un point quelconque de cette courbe, c'est-à-dire ^> sans résoudre l'équation par rapport à l'une des variables. En voici quelques exemples.
I ° . Soi t l'équation de l'ellipse
En différentiant , on a
na^Xdx -^ 7.b^xdx=: oj d'où -^ = — .
L'équation de l'ellipse donne deux valeurs de y^
auxquelles correspondent deux valeurs de ~- , qui sont
dxx b X dfi b X
dx a ^g} — -pj dx a y^^TZrp
dr En général, — a autant de valeurs que^.
2**. Soit l'équation
Ky^'\-hx^'{-CxPp = Q, on en tire
mky^-^dy '\-nBx^-^dx-^pCxP-^y'idx'^qCxPyi^^dy = o ,
d'où
dy __ n'Bx^-' -^pCxP-'yi
dx m A j'""' --f- q C/?"' xf
SIXIÈME LEÇON. Sp
3°. Soit 4>-f-7»—3axr=o;
on en déduit
dy ay — x*
dx [y"^ — ax
Comme , en général , à une même valeur de X répondent trois valeurs de y ou trois points de la courbe , il y a aussi
trois valeurs correspondantes de —-•
4®. Soit encore l'équation
fl* sm ^ = .r/,
qu'on ne pourrait pas résoudre par rapport à y *, elle donne
flcos idx-^-dy^^^xdy -{- ydx'y
d'où
Y — fl COS ^
dy '' fl
dx X •
acos —
ÉLIMINATIOir DES CONSTAirTES .
76. Entre une équation donnée et l'équation qu'on en tire par la difierentiation, on peut éliminer une constante; il en résulte une nouvelle équation qui exprime une propriété de la tangente, commune à toutes les courbes que représente l'équation proposée, quand on y donne différentes valeurs à la constante.
Ainsi, soit
nax;
on en tire
ydyz=
adxy
puis, en éliminant a
dx
C'est-à-dire que dans toutes les paraboles qui ont le même axe et le même sommet , la soïis-fangente est
6o COURS d'analyse.
double de P abscisse du point de contact ^ quel que soit le paramètre 2 a.
L'équation
qui représente une suite de paraboles ayant le même axe ^^S' 4- et le même foyer situé à
l'origine, conduit par Téli- • mination à T équation
'^ih"i-r = '-
ày .
ax
Mais
on aura donc
FM=:FN, puis FM=FT.
C'est-à-dire que ^725 toute parabole le foyer est également distant des points oîi la tangente et la normale rencontrent Vaxcy ainsi que du point de contact.
DIFFÉRENTIATIOK DES FONCTIONS IMPLICITES DONNÉES PAR PLUSIEURS ÉQUATIONS.
