Soient, comme exemples, les deux équations

( 2 ) «la: 4- ^7 -f- ca -h A = G ,

on en tire, par la différentiation,

xdx-{'jrdx'hzdz = o^ •

adx -+■ bdy -H cdz = « , et

(3) dy az'-c x ^

^ ^ dx cy — hz

i/\ </z bx — ay

^^^ dx "■ cy — hz

Voici l'interprétation géométrique de ce résultat : les coordonnées étant supposées rectangulaires , les équations (i) et (a) représentent, la première une sphère dont le

centre est à Torigine des coordonnées et la seconde un plan ; le système des deux équations représente donc le cercle résultant de Fintersection de ces deux surfaces.

^ et — donnent l'inclinaison des tangentes aux projections de ce cercle sur le plan des xy et sur celui des zx. On connaît donc les projections de la tangente sur deux des plans coordonnés, et par suite cette tangente ellemême.

nÉaiVÉES ET DIFFÉRENTIELLES DE DIVERS ORDRES.

80. Soit j'=/(a:) une fonction quelconque de a:, etj^^sa dérivée. Cette dérivée étant une fonction de j?, on peut la différentier, et Ion obtient ainsi la fonction dérivée de y\ que l'on appelle la dérivée seconde , ou du second ordre de j*, et qu'on désigne par j'^. De même j<^' aura une dérivée y^"^ et, en continuant ainsi , on aura les dérivées de tous les ordres de y ou/(jr). On les représente aussi par/' (x) , /'' [x) , /'" (i) , . . . .

 ces dérivées correspondent les dilTérentielles successives de j^. En regardant A, qui es^t T accroissement arbitraire de X comme une constante , on a

et ainsi de suite; donc si Ton indique d{dy) par iPy, d (d*y) par d^y^ et ainsi de suite, on pourra écrire

dy^yh, d^yz=:y"h\ d^y^y^h^..,, d'^ y = y(.'^) h\

Comme A, ou l'accroissement ^arbitraire de a?, est la même chose que dx , ces relations deviennent

dy = ydxr d''y=zy''dx', d^y = f dx',,.,, d^ y z= y^^) da^ .

On tire de là , pour les notations des dérivées succès^ sives ,

, dy ,^ d'^Y ^/;^'/ d^y