Exemples : i^. j = x

y ou -j- = /»«"-•,

dx — =/iî(/iî-i)a:«-%

-^ r= m (/» — I ) (m — 2)af-

air"

On voit donc que, si m est entier, -^— a une valeur

constante, et que les dérivées ultérieures se réduisent à zéro.

2°. y = Ax^ + Bx»^' -h C^-' 4-

-^==/w(m — i)Aa:«-^-f-(iw — l)(iw — 2)Bx»-» -h...;

et, si m est un nombre entier,

Les dérivées suivantes sont nulles.

Si l'on prend a = e , on a

X=\ogx;

5°. j = sin X ;

dy d^Y d^Y dW

~-=rcosj:; -r-:= — smo?: -7-=— cosa:; -7^=sinx. dx dx^ dx^ dx^

Les dérivées suivantes reprennent périodiquement ces quatre valeurs.

On peut remarquer aussi que

| = sin(x+i*);

et en général

g = sin(x + %).

De même pour y = cos a:, on trouverait

g = cos(x + 2.).

82. Quand la fonction j^ est implicite, on peut avoir ses dérivées successives sans résoudre i'équation qui la détermine. Ainsi, soit

on aura

équation qui fournit d'abord la valeur dey en fonction de X ou de j, ou en fonction de x seulement si Ton éliminej entre les équations (i) et (2), Maintenant , représentons par

Téquation (2), ou plus généralement une combinaison quelconque des équations (i) et (2). On pourra considérer la fonction ç comme identiquement nulle , si Ton y suppose j* ety remplacées par leurs valeurs en fonction de x. Donc on doit avoir d(f = o^ ou

Cette équation fera connaître ^ en fonction de x, / et y y ou en fonction de x seule , si l'on éliminej* eiy' entre les équations (i), (2) et (3).

On trouverait de même y'"^ y^ etc.

Nous verrons plus loin (n° 104) comment les équations qui 4éterminent^'', j^'^', etc. , peuvent se former au moyen des dérivées successives du premier membre /(a:, j) de l'équation primitive, prises par rapport à xet ky.