DU CHANGEMENT DE LA VARIABLE INDÉPENDANTE

83. Si l'on a n équations entre {« -f- i) variables , y, x, t, u,u,, , . f on peut en regarder une comme indépendante , et imaginer que toutes les autres soient exprimées en fonction de celle-ci. Si l'on choisit t, par exemple, on a

X=z^{t) et rf«^ = 4;C«)(f)f//«.

Supposons, maintenant, qu'auparavant x ait été la variable indépendante , et que Ton ait

X=zf{x) et X=Zff[t).

L'élimination de x entre ces deux équations conduirait à l'équation j^ = cp( t) , qui , par la différenliatîon immédiate, donnerait les dérivées ^^ (f), <j*"(«),..., \p" [t) de j-, en considérant jf comme fonction de la nouvelle variable indépendante t.

Le problème que nous allons traiter consiste à chercher, sans passer par Téliminalion de x, les dérivées ou différentielles successives dej^ considérée comme fonction def, parle moyen de^' (x)tj^ (a:), etc., et des dérivées ou différentielles de X prises en regardant x comme fonction de r.

84. A cet effet, si Ton prend t pour variable indépendante, et que l'on considère x ely comme fonctions de f, on a, d'après la règle relative aux fonctions de fonctions,

Kn différentiant cette équation par rapport ktet r^ardant dx , non plus comme une constante , mais comme une fonction de t , on a

On trouve de même

d^X^fi^) dx' -hif" {x)dx d} X -^f {x) d^ X',

et ainsi de suite.

Si, au lieu des différentielles de y oude (|;{f ) par rapport à iT, on veut avoir ses dérivées ^' [t)^^'* [t)^ etc., il suffit de diviser les équations précédentes par dt^ dt* ^ dt^ respectivement, ce qui donne

85. Réciproquement, si l'on connaît les différentielles ou dérivées successives de x et de r considérées comme des fonctions ç (ï), ^ {t) de la variable indépendante ?, on en peut déduire les dérivées/"' (-^t)?/'' (x), etc., dej" consi-

dérée comme fonction de x. Car on lire des équations

précédentes :

dx'

f,„( . dx [dxd'y-^ dyd' x) — Zd^x {dxd'y — dyd'x) J (^j - ^i ,

les difTérenlîelles dans les seconds membres éiant toujours relatives à t,