Il y a un autre moyen d'arriver à ces formules
On a d'abord /'(:c)=^.
En différent! ant les deux membres de cette équation par rapport à f , on trouve
/v/r^N^^-.^ dy dx(Py^dyd}x f [x)dx^d,-^ — ,
et, en divisant par dx^
dxd}y — dyd}x
dx^
En différentiant de nouveau par rapport à (, on aura f"^ {x) , et ainsi de suite.
87. On doit remarquerque la dérivée première/*' [x) est la seule dont l'expression parles différentielles dexetde^ reste la même , quand on cesse de prendre jc pour variable indépendante ou quand dx cesse d'être constante.
En effet, /'(x) est toujours exprimée par —-? tandis que les autres dérivées /'' [x) , /''' (x) , etc., qui sont représentées par -j—j -^i etc., lorsque x est la variable indépendante, ont des expressions plus compliquées quand
SIXIEME LEÇOK. 6q
OU regarde x eiy comme des fonctions de la nouvelle variable indépendante t,
88. Il se présente ici une vérification des formules générales. Si l'on prend x pour variable indépendante, en faisant x = tj on a
dx d^x d^x
et l'on trouve
dx est à présent constante, et les différentielles rf/, rf'j', etc. , se rapportent à or.
89. Si l'on prenait j^ pour variable indépendante, l'équation
étant résolue par rapport à Xy donnerait une valeur de la forme
F (y) est dite la yb/ic//o/i in\ferse Aef[x). Il faudrait faire alorsy = ï, d'où
puis
dyd^œ dy^ T' [y)
^ ^"^^^ da^ "" (dxy^ r(xy'
(dxy
^,„^^^^ -àxdyd-x^Zdy{d-x)dxd^x /cP^cV
/dxy "^ F'' (7)*
90. Voici un exemple de ce changement de variable indépendante.
Soit j =z/[x) , et soit l'expression
dans laquelle dy et d'^y sont les différentielles de y ou dey(j:) par rapport à la variable indépendante x,
1°, Si l'on prend maintenant pour variable indépendante une variable quelconque t liée à a: et à jr par les équations
les relations précédemment trouvées (81) donnent
\ ^ dx") (dx'-hdyy
dxd^jr — djrd^x dx d^y — dy d^ or
OH bien
2°. Si l'on prend pour variable indépendante la fonction inverse j^, on aura , en supposant x = F (j^) ,
dy' Par exemple , si Von a
X =: « ( I — sin t\^ y •=: a{\ — co»r) ,
SIXIEME LEÇON. rji
on aura
dx :=: a[\ — cos/) dtj dy z=a sin tdt^
d'^x:=z a^mtdt^y d^ jr = a COS tdt*.
La substitution de ces valeurs donne (en omettant le signe — ) ,
« = 2 a V^2(i — cosr) = 2 sl^ay.
ya COURS D ANALYSE.
Desfonctions de plusieurs variables indépendantes. — Différentielles partielles at totales.— Propriétés de la différentielle totale ~ Différentielle d'une fonction composée, d'une fonction implicite. — Dérivées et différentielles de divers ordres.-^ Théorème sur Tordre des différentiations. — Différentielles totales de divers ordres des fonctions explicites ou implicites .
DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES ET TOTALES d'uWE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
