Si l'on pose
la somme des différentielles partielles de u par rapport à toutes les variables, ou
ï {^7 X7 «) (^^ + -^ [^y y y A ^h H- X {^y fy *) ^^>
est ce qu'on appelle la différentielle totale de u \ dx , dj^ dz ne sont autre chose que les accroissements arbitraires de x^y^ z , ou Ax, Aj, Az.
93. Pour trouver l'expression dç F accroissement total A zz de la fonction u , nous allons reprendre le mode de démonstration employé pour les fonctions composées. On aura, en désignant par a , 6 , y des fonctions qui tendent vers zéro, avec ù^x^ A/ et A^ respectivement,
(3)/(ar,/,z-f.A«)— /(a;,/,s)=[x(^,J,2) + 7]A«• Supposons que Ton fasse varier seulement x dans l'équation (2), puis j: et j^ dans l'équation (3), il viendra
= [^P (a: -h ^x.yyz) -4- 6' ] ^r et
/(j:-hAj7,/-f-A/,»4-Aa) — /(x + Aa?,/-f- A/ ,») = [x(^-4-Ax,/-h A/,z)-h7']A«,
6' s'évanouissant avec Aor et ùky^ et / avec A^, Aj et Az.
Si Ton ajoute la première équation avec les deux dernières, il vient
/(a:-+-Ax,j+Aj- ,«4- A«) ^f{x,r,z) = [?{^?/>2)H-«]Aj^ -f- [>KxH-Aa:,7,z)-h6']Aj "^-IxC-^-*- Ax,7-f.A7,z)-f-7']Az, '
OU, en désignant par (S'^ et y'' de nouvelles fonctions qui tendent vers o ,
Aw=ç(:r, j,z) Ax4->Kx,jr,2) Aj -f- x (-^jr. 2) A« -i- aAa:H-p"Aj4-7''Az.
Ainsi l'accroissement de la fonction u se compose de deux parties: dans ruDe,les accroissements dcvS variables sont multipliés par des fonctions indépendantes de ces
accroissemeuts , et qui sont les dérivées partielles de u \ dans l'autre , ces accroissements sont multipliés par des quantités a, (S'', y'' qui s'évanouissent en même temps qu'eux. Dans le cas où les variables indépendantes se réduisent à une seule , la première partie se nomme différentielle de la fonction. Il est donc naturel de donner, dans tous les cas, à cette première partie, le nom de différentielle totale.
94. Voici quelques exemples? de difiérentielles totales : i**. w = «"/", du = ma:^~^ y^dx -{- wx^/»-' dy.
du:
et comme
il vient
xdx -^ y dy
du
— axy dx -\- ax^ dy
{x'+y'Y u= arctang-»
du:
xdy — ydv
x'-hy^
