PROPRIÉTÉS DE LA DIFFÉRENTIELLE TOTALE
95. Nous avons vu, au commencement du Cours , que la limite du rapport de l'accroissement d'une fonction d'une seule variable à sa différentielle est l'unité (pourvu que la différentielle ne soit pas nulle). Le même théorème a lieu pour les fonctions de plusieurs variables indépendantes.
SEPTIÈME LEOOW. 7^
Ou a , d'après la définition de la difïérentielle totale , par conséquent (93),
puis^ en divisant par du y on a,
Aa ___ ^^ aAx-hf'àx-^Y'à.z
fJu A y* A z
Lorsque Ax, û/, Az, deviennent infiniment petits , le numérateur tend vers zéro , mais le dénominateur ne devient pas infiniment petit , tant que Tun au moins des
rapports -— 5 -— reste arbitraire. La limite de -7- est donc *^* Ax Ax du
Funitë, si les valeurs des accroissements Ax, A^, Az,
n'annulent pas du.
96. Gomme pour les fonctions d^une seule variable, si une fonction de plusieurs variables est constante, sa différentielle est nulle.
En effet , la dérivée de cette fonction par rapport k chaque variable est nulle, par conséquent sa différentielle totale, qui est -r- dx -\- -j- dy -{ — r-dz. est nulle aussi. dx dy ^ dz
On en conclut que si deux fonctions ont une différence constante, leurs différentielles partielles ou totales sont égales , et réciproquement. Car si u = i^ H- c , c étant une constante , on a
d*où d^a — v) ou du — dtf z=z o et du = dv.
Et réciproquement, si du = di^ ^ on a
rf(« — p) =0,
ou
« — f == une constante.
DIFFÉREMTIATION d'uNE FONCTION COMPOSÉE DE FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
97. Si Ton a une fonction composée de deux ou de plusieurs fonctions des variables indépendantes x^y^ z , comme p = ¥ (m, ^)y on aura en différentiant tour à
tour par rapport à chaque variable,
dp ^^dp du dp d(f
dx ~^ du dx dv dx
dp dp du dp dv
dy du dy dç dy '
dp dp du dp dv
dz du dz dp dz '
-f-y •^'i désignant les dérivées de ;t; ou de F (a, i^) prises
par rapport à chacune des quantités u et j^, comme si u et i^ étaient des variables indépendantes.
En multipliant les dérivées -f-^ -^^ -4- partir, dy^ dz
respectivement et ajoutant , on aura la différentielle totale de p ,
dp^-^du-^-'-^dv.
du dv
Les facteurs du et d\f qui multiplient les dérivées partielles -r-^ ~r- désignent les différentielles totales de 11 et
du dv ^
de i^. Ainsi le théorème relatif à la différentîation d'une fonction composée s'étend au cas de plusieurs variables indépendantes.
DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS IMPLICITES DE PLUSIEURS VARIABLES INDÉPENDANTES.
