Soit
une fonction des variables indépendantes x ^ y^ z. Les règles de différentiation des fonctions d'une seule variable
donnent immédiatement les dérivées successives — 5
dx
Or toutes ces dérivées sont des fonctions de a:,j^ etz, que l'on peut différentier par rapport à l'une quelconque
des variables. Ainsi l'on peut prendre ^ /^Z -, c'est-àdire la dérivée par rapport k y de la dérivée de m par rapport à x.
Pour plus de clarté, on pourrait indiquer ces deux
d^u . du
d^u du
dy" dz
/ . . "^ \ dx J d^d^u
opérations successives par — \ — ^ ou ■'--=—-, mais il *- dy dydx
yS couBS d'analyse.
suint d écrire simplement ou • - 5 parce que
Tordre des différentielles rly et dx au dénominateur indique suffisamment qu'il faut prendre d'abord la
dérivée de u par rapport à j:, qui est —j et ensuite la
. , , , . du .
dérivée de — par rapport a y,
du
De même —r— ou exprimera la dérivée par rap-
port à a: de la dérivée de u par rapport à y.
On indique d'une manière semblable le résultat d'un nombre quelconque de différentiations exécutées dans un certain ordre sur la fonction i/, par rapport aux diverses
variables qu'elle renferme. Ainsi, par exemple, , ■■ — signifie qu'il faut prendre d'abord — =iii, ensuite -7-^= //j,
puis -7-* = u^^ et enfin --r-^ = 1/4. Ce dernier résultat u^
*■ dx dz
est ce qu exprime la notation •
THÉORÈME STJR l' ORDRE DES DIFFÉREWTIATIOWS.
100. Le résultat final de plusieurs différentiations successives est toujours le même y quel que soit F ordre dans lequel on opère par rapport aux div^erses ^variables. Je dis d'abord que
du du
dx dy d}u d^n
dy dx dydx dxdy
En effet, si Ton ne fait varier dans la fonction u que x et j^, on peut, en faisant abstraction des autres variables, représenter u par/ (a:, r). Or on a
a étant une fonction A.e x^ j eih^ qui tend vers zéro en même temps que A, quelle que soit la valeur qu'on donne à j.
Changeons dans cette équation^ en^ -h it. Le premier membre devient
Dans le second ,.-7- devient nx
du
S tendant vers zéro avec k \ « prendra une nouvelle valeur de la forme u-^a* k^ a' ayant pour limite — t sik diminue jusqu'à zéro; cette nouvelle valeur devanl encore devenir infiniment petite avt;c A, il faut que a' s'annule aussi avec h. On aura donc
du /f — —
En retranchant la première équation de la seconde, puis divisant par lîk , il vient
f[x^h,y -+• /-) —f{xyy + /-) —f{x 4- h.y) -\- f {x,y)
hk
du
dx ^ , = --— + 64- a'.
dy
du
On voit que le premier membre a pour limite — — ? quand
A et A: décroissent indéfiniment.
Mais en faisant varier dans/*(x,j^) d' abord j^ et en-
8o COURS d'analyse.
suite x^ on trouve que la même expression a pour limite
— ji quand A et A tendent vers zéro.
Les deux limites doivent être égales 5 on a donc
du du
dx dy d} u d} u
dy dx dydx dxdy
11 est bon d'observer que cette quantité, à laquelle on parvient de deux manières différentes, équivaut aux deux expressions
àt A. U AxàyU
-^ et ^—9
àx Ay àx Ay
de sorte qu*on a àjAgU=:Agàj,u,
aussi bien que dydgU^=: dgd^u,
