Exemples, i^. u^=i xT'y
On a
du du
dx dy ^
dy
ou
4" dy
dx
dxdy """"^ ^ -
dydx
: arc tang -•
du =
xdy — ydx
du — y du X
dx «' 4- J* dy x^ -h y'
d'^u y' — ar' d^ u
dydx (x^ +/')' dxdy
SEPTIÈME LEÇON. 8t
102. La proposition étant démontrée pour deuxdifférèntiations successives, il en résulte que si Ton avait à dliférentier une fonction plusieurs fois de suite par rapport à ses diverses variables et dans un certain ordre, on pourrait, sans changer le résultat final , intervertir l'ordre de deux différentiations consécutives. On peut donc amener chaque différentiation à tel rang qu'on voudra, c'est-àdire intervertira volonté Tordre des différentiations successives ; de même qu'on démontre qu'un produit reste le même, quel que soit Tordre de ses facteurs, quand on a prouvé qu'on peut échanger deux facteurs consécutifs.
On aura, par exemple,
dx dz dx dy dz dx dz dz dy dx dx dx dz^ dy dx^
DIFFÉRBNTIELLES TOTALES DE DIVERS ORDRES d'uNE FONCTION DE PLUSIEURS VARIABLES IN DÉFENDANTES.
103. Soit u une fonction de trois variables indépendantes j:, j-, ^, et proposons-nous d'en calculer les différentielles totales du^ d*Uj d^u^ etc.
La ditférentielle première est
On aura la différentielle totale de du ou la différentielle totale et du second ordre de u , en prenant la différentielle totale de chaque terme de du^ ce qui donne, en
observant que -; — r- = -; — r-' etc., *■ dy dx dxdy
\^dx' dxdy dxdz j
^«=:7z«^-»-:7::^r-+-:7ri^^-
/ dUi ^ d'u ^ d'u \ ^
ou
-H 2 -- — - dxdz -\- 7. — — - dy dz.
dx dz dydz
On voit que d^u peut se former en élevant au carré la
différentielle première -r^ <^lor -^ — dy -^ —- dz, pourvu
qu'au numérateur de cliaque terme du carré développé on remplace du^ par d^u. Avec cette convention , on peut écrire la formule symbolique
., fdii du ^ du ^y^
On aura de même, en général,
/du , du , du , XC)
rf" « = ( -- rtx H — r-dr -^ — r- dz ] \dj: dy dz^ j
l'exposant entre parenthèses indiquant qu'il s'agit d'une formule symbolique, c'est-à-dire d'une expression dans laquelle il faudra remplacer du!" par d'^u après le développement.
On démontre la généralité de cette formule en prouvant que, si elle est vraie pour un certain indice », elle est encore vraie pour l'indice /i 4- i .
En effet, un terme quelconque du développement symbolique de /T?"« est de la forme
où ;? -f. y -h r = «,
et X- =
