DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

107. On a vu , dans V Algèbre élémentaire y que si l'on change x en x-hh dans une fonction entière de la Variable X , qu'on désigne par f(x), on peut développer /{x-hh) en une suite de termes ordonnés suivant les puissances entières et positives de raccroissement A, et qu'on a la formule

j /(^ ^ h) =f[x) -h hf'{œ) 4- -^ /" (x) -^ . . .

1 An

f {^) 1 f" {^ ) -> ctc» î étant les fonctions dérivées successives de f [x). Cette suite se termine d'elle-même et contient m 4- I termes , quand f (x) est une fonction eulière dont le degré est m ^ car sa fonction dérivée de Tordre m est une quantité constante, et les dérivées des ordres supérieurs à m sont nulles.

Nous allons voir comment la formule précédente peut s'étendre à une fonction quelconque f (x) d'une variable X.

Représentons par R le reste qu'on obtient en retranchant de y ( j: -f- /?) la somme des n ~\- i preniins de la

série

qui a un nombre indéfini de termes, cjuand J (x) n'est plus une fonction entière ^ on aura

(R=/(x-f-A)-/(x)~/i/'(x)-.il/"W-...

Faisons maintenant x-hh=z z^ d'où résulte A = z — x et nous aurons

JR=/(z)/(x)-(z-x)/'(x)-(ii::^/"(x)-...

R dépend, comme on voit , de x, de z et de /i.

Comme x et -z sont deux quantités indéterminées et indépendantes l'une de l'autre , on peut faire varier x en laissant z constant et prendre la différentielle ou la ^ dérivée de R par rapport à la variable x. Ou aura

tous les termes se détruisent, excepté le dernier terme du second membre, de sorte qu'on a simplement

^' dx 1.2.3. ../i

Cette formule va nous servir à déterminer deux limites entre lesquelles le reste R sera compris.

Si l'on remplace/^"+*^ (x)^ dans le second membre, par

une constante arbitraire C, on'aura

dx 1 .2.3. . . /i(/î H" i} I.2.3.../Î

En retranchant cette équation de la précédente , on trouve

,dx\ 1.2.3. ..(^

équation qui a lieu quelles que soient x el z,

408. t^. Supposons à présent x<^zovLh positive (puisque h=s z — x) et admettons qu'en faisant croître x depuis une valeur quelconque plus petite que z jusqu'à la valeur z^ la fonction y* ^""^^^ [x) reste finie et continue, ou , en d'auires termes, varie par degrés insensibles. Désignons par M la plus grande et par m la plus petite des valeurs que prendra cette fonction. En remplaçant C par M dans l'équation ci -dessus, le second membre sera positif ou du moins ne sera jamais négatif pour les valeurs de x croissantes jusqu'à z. Ainsi l'on aura

ûte L 1.2.3. . .(/i -H i) J

Donc, tandis que j: croît jusqu'à z, la fonction R ^ / , M

croît aussi continuellement, puisque sa dérivée reste positive (ou plutôt ne devient pas négative). Mais cette

fonction R ^ J- r M est nulle quand x de-

vient égale à z [car alors R est nulle , formule (a)]. Donc

elle est négative pour les valeurs de j: moindres que z, et

par conséquent on a

(z — jry'+' ^ I .2.3. . .(/i 4- i)

Si dans la même équation on remplace C par m, qui est la plus petite valeur dey^"+*^ (a:) , il vient

^[^- 1,2.3. ..(. + i) "J<"' Donc , en faisant croître x depuis une valeur quelconque

iusquà ^, la fonction R ^ / r ni décroit,

^ ^ 1.2.3. . .(/i-fi)

puisque sa dérivée 6st négative ^ et comme cette fonction s'annule quand x atteint la valeur z , elle doit être positive pour les valeurs de a; <^ s. On a donc

Voilà deux limites deR.

2^. Supposons maintenant x > z ou A négative, et désignons toujours par M et m la glus grande et la plus petite valeur que prendra y^"+*^ (j:), si l'on fait croître x depuis la valeur iî jusqu'à une autre valeur quelconque plus grande que z. En remplaçant la constante C tour à tour par M et m dans l'équation ( 4 ) , on aura , si le nombre n est pair,

dx\ ï.2.3. . .(/i +1) J

di

Donc, en faisant croître x depuis z jusqu'à une valeur

quelconque, la fonction R —x ■/■ rM, qui est

d'abord nulle pour x = z, croît en même temps que oC, et par conséquent est positive. On a donc