n -h i) et l'on trouve de même

Si n est un nombre impair, on trouvera les mêmes limites de R , mais prises dans l'ordre inverse , et par conséquent les deux inégalités seront les mêmes que dans le cas où X était <^ z.

On remarquera qu'en supposant x^ z ^ le facteur [z — x)""^* est négatif ou positif, selon que n est pair ou impair.

109. Il résulte de ce qui précède qu'on a,®dans tous les cas,

^~"l.2.3...{/l-hl)'^'

en désignant par K une quantité comprise entre M et m. Donnons maintenant à x une valeur fixe arbitraire, et désignons par x' une variable qui reste comprise entre les deux valeurs déterminées x et z ou x' et x + A. La fonction y^"+*^(a:') qui, par hypothèse, reste finie et continue quand x' varie depuis a: jusqu'à x -\-h^ passera successivement par tous les états de grandeur intermédiaires entre sa plus grande et sa plus petite valeur, entre M et W5 elle deviendra donc égale à la quantité K, qui tombe entre M et m, pour une certaine valeur de la variable x' comprise entre les valeurs extrêmes x et x-\-h. On pourra représenter celte valeur de x' par x -f-O A , étant unnombrepositif plus petit que l'unité et d'ailleurs inconnu , de sorte qu'on aura

L'expression précédente de R deviendra donc

en l'égalant à son expression primitive (1) , on aura enfin la formule (le Taylor

la quantité h est à volonté positive ou négative.

HUITIÈME LEÇOH. 9I

Cette formule a lieu pourvu que/("+'^ [x') reste finie et continue pour toutes les valeurs de la variable x\ depuis la valeur x que Ton considère dans la formule jusqu'à a: -h A. Car alors chacune des fonctions précédentes f[x')^ y*'(x'), etc., sera ^aussi finie et continue pour x' =^ a: , et pour toutes les autres valeurs de x* comprises entre a: et a: -+- A.

Les fonctions dérivées d'ordre supérieur à n -}- 1 ne sont assujetties à aucune condition.