AUTRES FORMES DU RESTE

HO. Si Ton sait seulement que la fonction ^^"^ (x') est finie et continue quand x' varie depuis x jusqu'à X + h^ et qu'on n'ait pas la même certitude pour f(^+^) (x') , on peut écrire

Ajoutant et retranchant = f^"^ {x) , on a

[ /(x 4- A) =/(x ) -H A/ (x) H- ... H -^ -Ji") (x)

■p^^-^-— [/(«'(x + ÔA) -/(-) (x)].

Le reste R qu'il faut ajouter à la somme des n H- i premiers termes de la série indéfinie

pour avoir la valeur exacte dGf(x ■+-/*), prend donc celte nouvelle forme : . ,

(8) R=--|L[/W(x-heA)-/W(x)].

Le nombre 9 plus petit que Tunilé qui entre dans les formules (7) et (8) n'a pas la même valeur que dans la formule (6).

La formule (7) suppose que /^"^ (x') reste finie et con-

g2 GOUKS d'aivalyse.

liiiue pour toutes les valeurs de la variable a/, depuis x jusqu'à x-f- A; elle n exige aucune condition relative aux dérivées d'un ordre supérieur à n. Celles-ci pourraient devenir infinies ou discontinues pour des valeurs de a/ comprises entre .x et x -\- h , sans que la formule cessât d'être exacte. Ainsi, en donnant à x une valeur particulière, ce développement [y) def(x + h) peut être exact quand on Tarrêle à un certain terme, et devenir inexact si l'on voulait le pousser au delà.

Supposons, par exemple, qu'on ait

fi étant un exposant positif fractionnaire ou incommensurable compris entre les entiers nein-h i . Les dérivées àef(x) seront finies et continues pour x = a jusquà f'"^ (x) inclusivement, en supposant que les dérivées de (f (x) et de f\i (x) le soient; mais au delà elles deviendront infinies pour a: = a. Le développement de f(a -\- h) ne

/in

devra donc être poussé que jusqu'au terme r /"^"^ (a).

tout au plus^ et on le complétera en lui ajoutant le reste

qui est une fonction continue de h.

H I . Le reste R de la série de Taylor peut encore être mis sous une autre forme, qui est utile en certains cas.

En désignant parc (x) une fonction quelconque de x, on a, d'après la formule (6),

ou , en remettant z — x à la place de h ,

y ( z ) = (p (a:) 4- ( z — a: ) (p ' [ ( j: -h ( z - X ) ] ; mais si (f (x) représente le reste B , on a

formule (3), de sorte que l'équation précédente devient ou

(9) ^=7TTr3T.-ry"'^'^('-^^*)'

ôest toujours un nombre positif plus petit que Tuniié, dont la valeur n'est pas la même que dans les formules (6) et (7).