REMARQUE SUR LA SÉRIE DE TAYLOR

112, Si l'on arrête la série de Taylor à un terme quel-

conque ^ /^"^(^) qui ne soit pas nul, on pourra

toujours prendre la quantité h assez petite pour que ce terme surpasse en valeur absolue le reste qu'il faudrait ajouter à la somme

afin d'avoir la valeur exacte def(x -+- h).

En effet, si l'on prend la seconde forme du reste (8) , pour que le terme qui contient h" surpasse le reste correspondant , il faut qu'on ait ( en ne considérant que la valeur absolue de chaque facteur)

ou simplement

Cette condition sera toujours remplie, en prenant h suffisamment petit , sijT^"^ [x) n'est pas zéro et si/^^"^ (x') reste finie et continue pour toutes les valeurs de x^ comprises entre x et x-\-h, puisqu'alors la différence f^"^(x-hO/i) — f^"^{x) tend vers zéro en même temps que h.

On voit même que le rapport du reste R au terme en ft" où Von a arrêté la série tend vers zéro à mesure que h diminue.

SÉRIE DE MACLAURIK.

H3. Si l'on fait x= o dans les équations (6), (7) et dans celle qu'on obtiendrait en substituant l'expression (9) de R et qu'on remplace ensuite la lettre h par la lettre a: , on obtiendra les formules

Ou développe aînsî une fonction quelconque de x en une suite de termes ordonnés suivant les puissances entières et ascendantes de x, pourvu que la fonction dérivée de Tordre w + i ou celle de l'ordre n def(x^) reste finie et continue pour les valeurs de la variable x' comprises entre o et x.

Sij, lorsque n croit indéfiniment, Tune des expression»