i ^ /f"^ \a) -H ^ ^fin-^^) (a -^9 h

la seule condition à laquelle la valeur a soit assujettie est que/^"+*^ (x') reste finie et continue pour toutes les valeurs de x' depuis a jusqu'à x^ la série sera d'autant plus convergente que la différence x — a sera plus petite.

H 5. La fonction /(x) ue peut être développée en une série convergente procédant suivant les puissances entières et ascendantes de x autrement que par la formule de Maclaurin ; car supposons cel^ autre développement en série convergente,

/(x) = A 4- B j: 4- Cx' 4- Dx« . . . , on en conclut

[ A -/(o) ] -H [B -/'(o) ] X H- [C --Çi^].;' + . . . = o.

En faisant x == o, on obtiendra successivement

De même la formule de Taylor donne le seul développement possible dey (x -h h) suivant les puissances entières de h.

H6. Il ne faut pas croire que la série indéfinie de Maclaurin , quand elle est convergente, ait toujours pour

g6 COURS d'analyse.

somme J(x]] la somuic de ses termes peut converger vers

une limite diflérente de f(x).

Par exemple, la fonction e ^* devient nulle ainsi que toutes ses dérivées pour j: = o ; tous les termes de la série de Maclaurin appliquée à celte fonction sont donc nuls , et cependant la fonction n'est pas nulle. Si ç (x) est une fonction développable par la formule de Maclaurin , et qu'on pose

la fonction f(x) , développée par la même formule, donnera lieu à une série convergente, mais qui aura pour somuic (f [x) et non pas la fonction développée/' (x).

L'égalité d'une fonction f(x) à la série de Maclaurin prolongée à l'infini, ne peut être établie qu'en démontrant que le reste qu'il faut ajouter à la somme d'un nombre quelconque de termes de cette série pour avoir la valeur exacte de f{x)^ devient plus petit que toute quantité donnée quand le nombre des termes croît jusqu'à l'infini.

Les mêmes remarques s'appliquent à la série de Taylor.