DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS EXPONENTIELLES

117. Nous allons développer quelques fonctions particulières en séries par la formule de Maclaurin. Soit d'abord

Les fonctions dérivées sont toutes égales à e', et l'on a

/(o) = i, /'(o)=i,..., /in^O(Qa:) = e^'; d'où

JL C

Le reste -^ -, peut devenir plus petit que

» .2 3. . . (/i-hij ' ^ ^ ^

HUITIÈME LfiÇON. gj

toute quantité donnée si Ton prend n sufilisamment grande En effet , on peut écrire

«r""*"' XX X X

Si l'on prend un nombre déterminé Ar<^i, on arrivera

nécessairement à un facteur i <' kx comme les

facteurs vont en décroissant , le produit •: ■: • •

sera plus petit qu'une puissance de h marquée par le nombre de <?es facteurs, c'est-à-dire plus petit que â""*"*""*, et par conséquent aussi petit qu'on voudra , en prenant n

assez grand ; donc le produit • • • > et par èitîte

le reste 5 -, r (puisque c ' reste fini), peut

devenir plus petit que toute quantité donnée; d'où l'on

conclut que la série 1 4- '- H h ... est convergente,

et qu'elle a pour somme e'.

118. On peut déduire de là le développement de a*. En effet, si l'on observe que a = e^", d'où /2' = e'^'*, on obtient, en changeant dans le développement de e', X en X la, et en remplaçant e *** par a^',

x\a x^{\ay x^(\ay :r»(lfl)"

résultat qu'on aurait pu obtenir direclement.

DÉVELOPPEMENT DE sill O: ET DE COS O:.