Soit

/{x) r= sin j: j

6h aura, en appelant n un nombre pair quelconque,

/'(:t')=:cosx, /''(x) = — sin.r, /'" (x) = — cosa:, /'▼(^)=sina7,..., /(»)(a:)=:zpsinx, /(»+') (x) = ±cosx;

d'où

/(o) = o, /'(o) = i, r(o)=o, /''{o) = i,..., /(»)(o) = o, /(»+') (9^) =±cos(0ar}.

Il faudra prendre -H cos (ôor) ou — cos (9x) , suivant que n-hi sera de la forme 4p -hi ou 4^ + 3. On aura donc

sm J? :

cos(Ox).

Maintenant , en valeur absolue, cos [Ox) est <[ i . D'ailleurs on peut toujours pk*endre n assez grand (n° HT)

potir qiie -: devienne plus petit que toute quantité donnée. La série

est donc convergente et a pour somme sin x.

Lorsque l'on aura x'^-tla signe de cos(6x) dépendra

de la valeur de 6 , et l'on ne pourra pas , en général , savoir le sens de Terreur commise, lorsqu'on s'arrêtera à un terme d'un rang déterminé. Mais si , comme il arrive

ordinairement, a: est <:^ -> cos (Ox) sera toujours positif,

et l'erreur commise sera alternativement en plus et en moins.