Soit maintenant

/{x) = cosarj

HUITIÈME LÈÇOÎf. 99

on aura , en appelant n un nombre impair quelconque ,

f [x) = — sin x , y' (d?) = — cos a: y f" [x) = sin X, /'^(x)=: cos x,...,

/('»)(a:)=:::q=sin or, /("+0 (Gx) = :4Zcos (Ôj:);

on aura alors

cos j: = 1 ^

-COS (ô.r) :

d'après ce que Ton a déjà démontré (117) , on peut donc écrire , quel que soit x ,

cosj:= i

lOO COURS D ANALYSE.

Suite des applications de la série de Biaclaurin . — Formtile du binôme pour un exposant quelconque. — DéTeloppement de log (i-+- *). — Formules pour le calcul des logarithmes. — Des logarithmes considérés comme limites de fonctions algébriques. — Seconde démonstration de la série de Taylor.

FORMULE DU BINÔmE POUR UN EXPOSANT QUELCONQUE.

121 . Proposons-nous de développer (a -f- ft)"*, m étant quelconque. On a, en posant - =; a:,

(fl H- ^)« = [a ( I -h x)]" = fl"» (ï -f- J?)".

La question étant ramenée à développer (i -f- a:)", soit

/{x)=z{i-^x)"'; on aura

f'{x) = Wî{i -f-x)""', /"{x)=: m(m — i) (i -har)— ^. . . ,

/('»)(x)=:/7ï(m — i). ..(w — /î-H i)(i H-ar)*-"», /(»+•) (Bx) = m {m — i) . . .(m — /î) (14- 0^)""""' . . . ,

et, par suite,

422. Supposons d'abord que Ton ait, en valeur absolue, a: > I ^ je dis que dans ce cas la série sera divergente. En effet , on a pour l'expression de deux termes

MEUVIÈME LEÇON. iOI

consécutifs,

__ //»(//!— i) ...{m^p-]ri) "'■*" ~ 1.2.3. .,. ^ "^^

Ko — r ~ r Xf ,

par suite -^^ — = i ]x.

Comme ce rapport, à mesure que /t? augmente^ tend vers a:, et que x est >i ,il s'ensuit que la série est divergente.

Quand au contraire r est <^ i , en valeur absolue, la série est convergente et a pour somme ( i -ho:)"*. Ici nous distinguerons deux cas :

1°. Supposons d'abord j:> o, on aura

"~ 1.2.3 ...(/i+i) ^\i-f-Ôxy

Le premier facteur peut se mettre sous la forme

Ces derniers facteurs convergent vers — j: en prenant {'assez grand, et si k est un nombre positif moindre que I , mais plus grand que x , on peut suppose^ i assez grand pour que chacun de ces facteurs soit moindre que k^ abstraction faite du signe. Leur produit sera donc moindre que ft'+^~', et par conséquent aussi petit qu'on vou-

dra. Donc le produit total — ^ — — =-^ — r^ r— a?«+» sera

aussi petit qu'on voudra en faisaut croître n.

Quant au fac teu r r — | , comme son exposanir

finit par être positif, il tend aussi vers o , à moins toutefois que 9 qui dépend de /* ne s'approche aussi indéfiniment de o. Mais dans tous les cas ce facteur reste moindre que

l'unité. Par conséquent , le reste R de la série tend toujours vers o, quand n croît. Donc la série représente (i 4- J^*)'" pour toute valeur positive de x plus petite quei. Comme d'ailleurs le reste change de signe quand n augmente d'une unité, les sommes successives de la série seront alternativement plus petites et plus grandes que