Soit

(On ne prend pas Ix parce que , pour jc = o , cette fonction et ses dérivées seraient infinies. ) On aura

/C"^(a?)=±i.2...(/i — i)(i 4-^)-", /(•-•^O (ôjp) £: qp 1 . 2 . 3 . . . » (H- Ô jr)-— ' , donc

Le rapport d'un terme au précédent est, en valeur absolue,

— ^- — J7, et Ton voit (fue cette valeur converge versa: quand

p augmente. DoujC, d'après un théprèrae préc^Hempent démontré , la série est divergente lor^ue x .esX > i, en valeur absolue.

Supposons maintenant qu'on ait, en valeur absolue, X <^ I . Nous allons démontrer que dans ce cas la série est toujours convergente et a pour somme l(i + x)*

i^. Soit d'abord x positive; on a

/î4- I \i -f- Bx)

est une fraction propremenjt dite; sa puissance

(n + 1 )»*"»« pourra devenir plus petite que toute quantité donnée; et il en sera de même de R, à fortiori,

ti?. Soit maintenant j? négative. Posons jc = — z. On aura^ abstraction faite du signe,

/i 4- I (i — Ôz)"-^' ' n -h i\i — QzJ Mais, sous cette forme, on ne voit pas que le reste lend^

vers 05 prenons donc l'aulrc forme deR, R= ^-^; -J

TTÏTSTTTT-^'""'' (o^) = ^^'(> - ")• X (7TÎIF''

on aura

^=i7=ôi) xrrr-.-

Or est <r 2 <r I • Uonc ( — 1 ei par suite

( ^ fi ) X T' P®^^ devenir plus petit que toute

quantité donnée.

Ainsi , lorsque x tombe entre H- 1 et — i , on a