Posons

y = x^ — 25a:* et j4- A = ^*— 25ar'4- ï44> ou X =z x^ {x -h 5) (x — 5),

En substituant ces valeurs dej^ et de h dans la formule (2) , on a

l(xH-4)-M (a:— 4)4- 1 (x +3) 4-l(x- 3) --2l;r-l(a:+5)— 1 {x —5)

io6 COURS d'analyse.

Lorsque x est très-grande, le second membre de cette égalité est très-petit. En effet, si Ton a par exemple

x'^ looo, le terme —^ ^— ^ sera plus petit que

lO'"

a:<— 25x'-h 72^0:' (x» 25) IO«(lO''-— 25)*^ lO'* j 25

Les autres termes de la série seront beaucoup plus petits et décroîtront même très-rapidement -, par conséquent , si l'on avait x = 1000 , ou un nombre supérieur, on pourrait 5 avec une erreur moindre que — - , poser

l(x -4- 4) + l(a;- 4) + 1(^-^3) 4-1(^-3) — 2lx — l(a;-f-5) — 1(^ — 5) = o,

formule qui donnerait Tun quelconque de ces logarithmes lorsque les autres seraient connus. Il est facile d'obtenir une multitude de formules de cette espèce.

127. La série de Taylor peut servir à démontrer que si deux nombres sont supérieurs à une certaine limite, telle que 10 000, la différence entre ces deux nombres, pourvu qu'elle soit suffisamment petite, qu'elle ne surpasse pas i par exemple , est sensiblement proportionnelle à la différence de leurs logarithmes.

En effet, comme \(i + x) = r~î en s'arrètant au

^ ' I 4- Ôj:

premier terme, dans la série de Taylor, on a,

ax ju —— ?

si A = I , / donc

Hj 1 à) Ij -^^Q^^

Comme il n'entre ici que des rapports de logarithmes , on peut écrire, dans un système quelconque ,

iog(r + ^) — log r ^ 21±il,

log(/+ i) — log7 jH-ôA'

puisque, dans deux systèmes différents, les logarithmes des mêmes nombres sont proportionnels.

de même - — rT>— ^^» ou >i —

>*-»-ôA r + t r-»-»

Donc :^l±il

= I inw,

0) étant plus petit que - ; par suite, donc

iog(r -i- A) — logj =[iog (r + 1) — logr J ^ ±«/i[iog (j -h i) — logr].

Donc si l'on pose

log (r + A) — logr = [log (/ 4- 1) — logr] A ,

l'erreur commise E sera

»A[log(7 + i) — logjr]=:w/i log (?[!(/ -l-i)-.!^], ou , ce qui revient au même ,

et comme on a

on aura

E<^ ->■''<'-• — - si r*>ioooo.

2 2 lO"

io8 COURS d'analyse.

Réciproquement, on a

^ __ iog(r-f-^)"->ogr __ f ^

en négligeant la quantité Aw<^— Si y^ loooo, on a

donc h à près. Mais il y a une autre erreur à crain-

loooo^ •'

dre, parce qu'on n'a a et i qu'à une unité près. Alors on

n a As qu a près.

^ lOO ^

DES LOGARITHMES CONSIDÉRÉS COMME LIMITES d' EXPRESSIONS ALGÉBRIQUES.

128. Nous avons vu que e = liin(i-4--| quand (jt devient infiniment grand. On peut démontrer que

quand m devient plus grand que toute quantité donnée. En effet, si l'on pose

m a = — î on a

hiï-

a étant une quantité qui s'évanouit quand m surpasse toute limite. Donc

Cette égalité a lieu quel que soit m 5 par suite, elle a encore lieu à la limite, quand a = o. Donc

ff'=liinf ï+ ~) •

On pourrait d'ailleurs le démontrer directement,

comme on a démontré que e = lim ( i H J •