Si l'on pose

e' = j, d'où X = Ij,

il s'ensuit que ^ = lira f n | 5

par conséquent^

lira 73^ = lira (1 + 'j) on 1^ = lira fm(7/ - i)].

C'est ce qu'on peut d'ailleurs démontrer directement. En effet, puisque 1 (i -h jr) = > si Ion pose

I + .Y = 7r > d'où X = 7/ — ' >

on a

donc Ir "^'^^-'^

Or si m est très-grand , "^y — i est une fraction extrêmement petite, qui à la limite devient o; d'où l'on déduit encore

\jr = lira [m (7j — i)] quand m = 00 .

Cette formule peut servir à calculer le logarithme népérien d'un nombre. Pour la commodité du calcul, on peut faire m égal à une puissance de 2 , et alors 7/ s'obtient par des extractions successives de racines carrées.

130. On peut se servir aussi de cette formule pour développer 1 (i 4- w) en série. En effet, si Ton pose

on aura m 7r — i =r /w ( i 4- u)"^ — i j

et si u est moindre que l'unité en valeur absolue, le second membre pourra être développé par la formule du binôme, on aura ainsi

IIO COtJRS D AH ALYSE«

ce quî donne , en supposant m = oo ,

l(i-f.tt) = w~--4-'j — ....