AUTRE DÉMONSTRATION DE LA SÉRIE DE TAYLOR

131 . Soient m et M la plus petite et la plus grande valeur de/"+* {x) , lorsque x croît depuis a?o jusqu'à X. Si a + A est une quantité comprise entre x© et X, on aura

Mais le premier membre de cette inégalité est la dérivée par rapport à h de la fonction

donc cette fonction croit avec h , et comme elle est nulle pour A = o , on aura pour A > o

Maintenant le premier membre de cette nouvelle inégalité est la dérivée par rapport à A de la fonction

/»-> (« + A) /«-. {a) - hf (a)'--L^:

donc cette dernière fonction est croissante avec A, et comme elle s'annule en même temps que h, on aura pour h>o

On aura de même

/-. (a 4- /') -/"-= («) - hf-' {a) - -j^/" (a) - -'^^ > o,

et enfin