GÉNÉRALITÉS SUR LES EXPRESSIONS IMAGINAIRES

132. La résolution des équations du second degré qui n'ont pas de racines réelles conduit à des expressions que l'on nomme imaginaires, et qui sont de la forme

a "^ b si — I .

On a trouvé de grands avantages à introduire ces expressions dans le calcul : on les combine par voie d'addition, de soustraction 5 etc., en opérant comme si sj — i était un facteur réel dont le carré fût — i. On obtient pour résultat de nouvelles expressions imaginaires, et il est utile de reconnaître les relations qui existent entre les quantités réelles comprises dans les expressions données et dans celles qui résultent de leur combinaison.

Une équation où entrent des quantités imaginaires est la représentation symbolique de deux équations entre des quantités réelles. Ainsi , l'équation

a^b sf^i = «' + ^' V'^ comprend les deux suivantes :

133. Toute expression imaginaire a -h i v^ — i peut être mise sous la forme r (cos t -f- \/— i sin t). Il faut et il suffit 5 pour cela , que l'on ait

r == \/«^ -+• ^*, cos t == : et sin t =

s/a'' H- b' sja^ -h b^

DIXIÈME LEÇON* I l3

on a aussi

b tang / = - • a

La quantité r <{ue Ton prend toujours positive est dite le module de l'expression imaginaire. Les valeurs de sin t et de cos t font connaître l'arc t ou V argument : on le choisit ordinairement positif et plus petit que la circonférence.