Si Ton développe le premier membre de la for-- L

ii4 COURS d'analyse.

mule (i), et que Ton égale, de part et d'autre, les parties

réelles et les parties imaginaires, il vient

(m (m — I ) cos mx = cos" X i cos"—' j: sin' x 1.2

et

sin mx =r m cos'"~' x sin x

cos'"~^a: sin* a: -}-.

On voit que cos ma: et sin ma: s'expriment en fonction rationnelle de sin x et de cos x. Dans tous les cas, cos mx peut s'exprimer en fonction rationnelle de cos x seul , mais sin mx ne peut s'exprimer en fonction rationnelle de sin X seul, que si m est un nombre impair.

DÉVELOPPEMENT d'uNE PUISSANCE d'uN SINUS OU d'uN COSINUS SUIVAJNT LES SINUS ET LES COSINUS DES MULTIPLES DE l'arc.

136. On peut aussi résoudre la question inverse et développer cos'" x et sin*" x suivant les cosinus et les sinus des divers multiples de x. Soient

u = cos X H- \/ — I sin JT et p =z cos x — ^ — 1 sin x^ on aura 9.cosx = u -^ p et 2 y^ — i s\n x=x u — v; de là résulte

, 2'" CCS" .v=(ii -h ''}'" = n"* -f- mu"'-' v H ^^ ^ «'"-V4-. ..

Il convient de distinguer deux cas.

1°. Si m est pair et égal à 2/î, le développement renferme un nombre impair de termes et il y a un terme

du milieu qui est — \^ — r^ u" v". On a donc, en

DIXIEME LEÇOIC. Il5

groupant les termes égalemeiu distants des extrêmes,

Or «/» 4- c'/' = 2 cos/^x et uP i>r= i, puisque uç=i; donc

!' 2'«cos'«.r = 200s mx + 2 w cos (w — 2) ^ -f- . . .

i2"— ' cos^'-r = coswj: 4- m ros (w — 2) a:

2°. Si m est impair et égal à 2/14-1, (z/ -|- ^z)™ aura un nombre pair de termes, et l'on obtiendra facilement

i2'"-' cos'« X = ces mv 4- m ces ( w -. 2) .r