Pour avoir sin»" x, il faudra prendre la formule

u^vz=2i v/— I sin a:-,

et en élever les deux membres à la puissance m; il viendra alors

l ( v/~h a- . sin'-x = u"* — a/^«— ,, 4- 'n(m-^i) ^^^^ ^^ 1 1.2

( m (m — 1 ) =t: — u^ . (.«-2 q^ ;n uv"^' rt i^,

i"". Supposons d'abord m pair et égal à 2 /z. Alors

et il y aura un terme du milieu qui sera

On aura donc, en groupant les termes deux h deux,

( — i}". 2'" î»\n"'xz=z ( w'" 4- i^') — nniv (w"'~' H- v""'^) m (m — I )

OU, en remplaçant u^ -f- 1^' par 2 ces Arx, m*>* par i, et divisant les deux membres par 2 ,

i( — I )"2'"~"' sin mx = cosmx — m ces [m — 2) x ni (m — f) , ,, . I m (iw — i )(/!-»- 1) H i cos ( m —4) ^. . . ± ^ ^^ • 1.2 2 1.2.3... 72

2^. Supposons maintenant m impair et égal à 2/«4-i. Alors

(v^-ir={-.)-v/— ,

et l'on aura , en groupant les termes deux à deux,

I — lY ^ — I 2»» sin"' x = (u"' — c*" ) — miii' ( u"^"^ — t'"^'^)

En général,

M* — 1^ = 2 ^ — I sin Xx, n'' v^ = i.

Doue, en divisant les deux membres par 2 \/ — i, il viendra

/ ( — i)" 2'"-' sin*" X = sin nix — m sin (m —2) x

(4) i mim—j) . , ,, , /w(/w — 1)...(«-|-2) .

^^' f ^ i ^ sm(m^A)x.,,±-^ ^ — - — ^sm x.

RÉSOLUTION DE l'ÉQUATION BINOME.

138. La formule de Moivre peut servir à la résolution de l'équation binôme a:'" r= ^z a. Nous traiterons d'abord l'équation x'" z=a^ a étant une quantité réelle et positive.

A cet effet, posons

X = /(cos t -f- si — 1 sin / ),

cl*où a;" = r"* (cos mt -h ^ — i sin int) ,

ou aura pour déterminer r et f Téquation

/^ ( cos mt-A-sJ — I sin mt) = a , qui revient aux suivantes:

7^ cos mt z=i a y r"*sn\mc =zo. ^

En élevant ces deux équations au carré et ajoutant , oii a d'abord

d'où

4- y « désignant la valeur arithmétique de la racine m'* de a. Il suit de là que

sin mt = et cos w/ = -f- i ;

donc

mt-=z T.i'Ky d ou t=i j

/étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Ainsi les diverses valeurs de x sont données par la formule

cos h \ — I Sin l •

139. Pour avoir toutes les valeurs de jc, il suffit de donner à i les valeurs o, i, 2, 3^..., m — i. En effet , on peut toujours poser

i = mcj -f- kj

h étant un nombre entier, positif et moindre que ///. Il en résulte

lllt aX-TT . 2/7r

= 2777 H 9 sm

. 2 X- TT 2 /-Tr ifin

: sm —• — y COS = COS -

et, par conséquent ,