TT

2 / TT I . 2 / TT 7. À7T i . 2 /f r

COS h V — I sm =c()s -+- V — * s"^ ~^

ii8 COURS d'analysf.

Donc la formule

(2 X TT / . 2 /- t: \ ces -I" V — ' sîn I m m 1

donne toutes les valeurs de x, lorsqu'on attribue seulement à /l les valeurs o, 1,2, 3,..-, m — i.

De plus les m valeurs ainsî obtenues seront toutes différentes. En effet, comme ft est plus petit que m et positif, on a <; 2Tr; par conséquent, deux quelconques

des arcs considérés n'ont pas, à la fois, même sinus et même cosinus.

140. Il n'est même pas nécessaire de donner à h toutes les valeurs entières de o à m — i . En effet , supposons que l'on fasse

il viendra

iki: il' Tt 2/7T ik''K . ih-K . 2 XV

= TT > cos = cos > sm = — sm 9

m m m lu m m

et , par conséquent ,

iki: . . ihr. ik' t: , . 7. k' t:

cos -h V — * siii = cos V — ' sm •

Il suit de là que si F on prend

/ iki: . j . 2 /• TT \

x= r { cos ± V — I sm 1 9

on aurs^ toutes les valeurs de x eia donnant à A les valeurs o, I,, 2^ , . . . , jusqu a - ou r) suivant que m sera

pair ou impair.

théorï:me de cotes.

141 . La formule précédente, en faisant connaître toutes les racines de l'équation binôme , permet de décomposer le premier membre de cette équation en facteurs réels du premier ou du second degré.

Nous distinguerons deux cas :

1°. Si m est pair, on donnera à ft les valeurs o, 1,2,

DIXIEME LEÇON. I IQ

, . . . , jusqu a — L équation x'" — /'" = o aura pour racines

j? = / ( cos — - dz J-^ I sin -^- ) , \ m m I

X =z r cos - — ±: V — i sin -^— \ m /;/

Il résulte de là , en groupant les facteur* qui correspondent aux racines conjuguées ,

— - /•'" = (x' —/•')/ x"^ — 2 r cas — 0,- -h r- \

1 JC'—- 2'OOSt^ j;-|-/' ... i' O./'COS^ '—x-\-r^\*

2^. Si m estimpair, on doit faire A égala o, i, 2, ^vt

— ;^ — j et 1 équation Jt'" — /"" = o aura pour racines

xz=r,

JC =1 r [ cos — db i^ — i Mil -^ I ?

i iin — I ) TT , , ( /// -- \\ 7r \

JC = r cos '—zt: J j '— \ •

Dans ce cas , on a

1 Jc"* — /-'" = (a: — /■) [jc^ — 2 /• cos — -'- X -f- rM

^^^ i / . 4^ \ / , (/yi-iU /x

fX ./■'— 2/COS^— u:+/- I "\X- 2/COS- r- .ç-j-/'M,

L'interprétation géométrique de cette formule et de la précédente conduit au théorème de Cotes.

Fi^. 5.

Décrivons un cercle avec un rayon égal à r\ menons un

diamètre A A', et, à partir du point A , divisons la circonférence en m parties égales.

Prenons sur ce diamètre une longueur 01M= x, et joignons le point M aux divers points de division . MB étant Tune de ces lignes , on aura

MB*— Ob' -f- Ôm' — aOB.OMcosBOA,

ou

MB .MB' = j:» 4- r' — 2 ro? ces

De même ,

MC .MC =1 x^-{- F'—irx cos

On retrouve ainsi les divers facteurs du second degré qui composent x"' — r'".

Si m est pair, il y aura deux facteurs réels du premier degré x — /• et j: -f- r représentés par MA et MA', et dont le produit donne le facteur du second degré x^ — r*. Si m est impair, il n'y aura qu'un facteur du premier degré X — r ouMA.

D'après cela , les formules (i) et (2) expriment ce théorème dû à Cotes, que la différence. des m'^"*" puissances des /ignés OM et OA est égale au produit des lignes menées du point M aux dis^ers points de dis^ision de la circonférence.

OlfZlEME LEÇON. 121

Suite de la résolution des équations binômes.— Théorie des exponentielles et des logarithmes imaginaires.