Soit

, . dx d y dz du

un système d'équations simultanées. Nous avons tu qu'il

QUÀRÀMTE-HEUVIÈME LEÇOK. l6l

existe trois équations intégrales,

c, c', c" étant des constantes arbitraires. Ces équations, résolues par rapport aux constantes, peuvent être remplacées par le système

a, 6, y désignant trois fonctions de x, y9 z et u, sans constantes arbitraires. On peut donc trouver trois fonctions de x, j^, z, u qui conservent des valeurs constantes quand on y fait varier simultanément toutes les variables.

Remarquons d'abord que les fonctions P, Q, R, V ne peuvent pas être, à la fois, identiquement nulles, car les équations (i) n'offriraient alors aucun sens.

Admettons que P ne soit pas identiquement nul, et prenons x pour variable indépendante. Je dis que P ne pourra pas même s'annuler constamment en vertu des équations (3). En effet, l'équation P = o ne renfermant pas de constante arbitraire, on ne pourrait pas se donner à volonté des valeurs de yy zy u pour une valeur quelconque de x.

Supposons donc P différent de o. En différentiant l'équation a ==. c, on a

. da. dx da. , da.

(4) t- dx "+■ -r «y "+■ ~r «* + t~ du = o. ^' dx dy dz du

Mais a = c étant une intégrale des équations (i). les différentielles dx, dy9 dzy du doivent être proportionnelles à P, Q, R, V 5 on aura donc

~i t* da. * da ^ det ,T dy.

Stlbm. — Jn., IL 1 1