IÔ2 COURS D ANALYSE
Cette équation doit être identique ; autrement elle établirait une relation entre les variables x,y, z et u, et l'on ne pourrait pas donner des valeurs arbitraires à y, z, u pour une valeur partioulière de x.
On aura donc les trois équations identiques
du. dx da. da.
dx dy dz du '
dx dy dz du
630. Réciproquement, si Von trouve une fonction 0 les variables x,y, z,u, sans constante arbitraire, telle, que Von ait identiquement
de
dr ■
Kd7
+ yd-u=°>
V équation
sera une intégrale des équations
simultanées
dx "F
du
En effet,
on a
, /^8 </0 rfr <*0*fc d9 du\
\dx dy dx dz dx du dx J
• doncjr, z et u étant des fonctions de x telles, que Ton ait
dy Q dz R du __ V
^""P* Âc~p' di~Vy on aura
mais la quantité renfermée entre parenthèses est nulle par hypothèse, donc
dO = o, ou 0 = c.
Il suit de là que si Ton trouve trois fonctions a, o, y qui
QUARANTE-NEUVIÈME LEÇON. l63
substituées à 0 satisfassent identiquement à l'équation (i), les équations
(3) az=C, S=r.c'9 7 = CN
seront les intégrales des équations ( a).
631 . Des intégrales (3) peuvent se déduire une infinité d'autres intégrales, car x^jy zy u variant de manière que les fonctions a, 6, y conservent une valeur constante, toute fonction de la forme cj> (*, ê, y) conservera aussi une valeur constante.
On peut d'ailleurs vérifier directement que l'équation
est une intégrale des équations (2). En effet, on a
, do flo da do dn do dy
dx doi dx d$ dx dy dx
do do da do d% do dy
djr da dy do dy dy dy
do do da. do dt do.dy
dz doc dz dZdz dy dz
do dy da do df> do dy du da du d% du dy du
Si Ton multiplie ces équations respectivement par P, Q, R, V, et qu'on les ajoute, le second membre sera nul eu vertu des équations (6) du n° 629. Ou aura donc
do ^ do do „ d& dx dy dz du
c'est-à-dire que (f mis à la place de 6 satisfait à l'équation ~( 1 ). Donc cf = c est bien une intégrale des équations proposées.
632. On peut même démontrer que toute fonction Q de x9y<t z, u qui satisfait à V équation
„dQ r/G n d& ,r dB
* ' dx dy dz au
doit se réduire à une fonction de a, 6, y. En effet, soil
{*) e = o(*,jr,Z, If);
posons
(3) 7.—fx{x^yyZ% a), 6 =/,(*, /,«,«), 7 =/,(4P,jr,*,«);
on peut tirer de là les valeurs de y, z, u en fonction de a, 6, y et x\ en les substituant dans la valeur de 0, on aura
(4) 9— ïr(a,€, 7,.r).
Or, je dis que x ne doit pas entrer explicitement dans cette équation. En effet, en mettant cette valeur de 0 dans l'équation (1), on aura
/ dtt dx fin d% die df dit
\dx dx do dx dy dx dx
Q( die dx dv d% die dy 1 1 L
\d<x dy </ê tljr dy dy
[ dn dx die d§ die dy\ \dx dz do dz dy dz }
, / die dx die do* die dy \
t \dx du d$ du dy du J
Mais les fonctions a, £, y satisfaisant a l'équation (1), l'équation (5) se réduit à
die
dx d'où
die dx
puisque P ne peut être nul que pour des valeurs particulières des variables. Ainsi, la fonction tt ne contient pas x explicitement, et se réduit à une fonction de a,
CINQUANTIÈME LEÇON, l65
