CAS DE DEUX ÉQUATIONS, METHODE DE D'ALEMBERT
633. Si Ton a deux équations linéaires du premier ordre entre une variable indépendante x et deux fonctions^ et z de cette variable, en éliminant, tour à tour,
-—et —-> on obtiendra deux équations de la forme sui- (Lc dx
vante :
P> Q» V, P', Q\ V, désignant des fonctions de x.
On pourrait appliquer à ces équations le procédé d'élimination exposé plus haut (622), et Ton parviendrait à une équation linéaire du second ordrene contenant qu'une seule fonction inconnue; mais il est plus avantageux d'employer la méthode suivante, qui a été imaginée par d'Alembert, et perfectionnée par Ampère.
Ajoutons les équations (i) après avoir multiplié h seconde par une indéterminée 9 : nous aurons
/a\ f^r + g ± + (p-h p'e).r + (Q + Q'e)» = v -+- ve.
dx dx
/fy dz
Si 0 était une constante, -j- -h 0 — serait la dérivée de
dx dx
y -jr-Qz\ posons donc
i66 couns d'analyse.
il en résulte^ = t — 9z et
dy Odz fit d9
dx dx dx dx
L'équation (2) devient alors
(4) *L __ z(ll + (P .4. p'ô)(/ Qz) -t- (Q -f- Q'^c-V + VO. cl.v dx
Comme z n'entre ici qu'à la première puissance, on éliminera cette fonction en égalant son coefficient à zéro, et Ton aura les deux équations
L'équation (.c>) ne contient que 0 et a :\ elle détermine donc 0. Mais, quoique du premier ordre, elle n'est pas linéaire, et Ton ne sait pas, en général, l'intégrer. Cependant, si Ton en connaît seulement deux intégrales particulières 9X et 0S, la question proposée pourra être résolu**.
En effet, ces intégrales, particulières étant mises à la place de 9 dans l'équation (>') qui est linéaire, on obtiendra deux valeurs correspondantes de f, tl et f,, contenant chacune une constante arbitraire. On aura ensuite j" et z au moyen des deux équations
Les valeurs de y et de z ainsi obtenues contiendront deux constantes arbitraires, puisque tx et f, en contiennent chacun une.
634. Dans le cas où les coefficients P, Q, P', Q' sont constants, on peut supposer 0 constant dans l'équation (5), qui se réduit alors à
Cette équation est du second degré et donne deux racines
constantes que Ton peut prendre pour 6t et 0f, si ces racines sont inégales.
Si les racines de l'équation (7) étaient égales, on n'aurait qu'une valeur de 0. Mais, dans ce cas, l'équation (5), en supposant 0 variable, peut se mettre sous la forme
OJC
ou
de
équation dont l'intégrale générale est
Comme on n'a besoin que de deux valeurs particulières de 0, on les choisira de la manière la plus simple en faisant successivement c = o, c = 00 , d'où
Les équations (1) peuvent donc toujours être intégrées quand les coefficients P, Q, P', Q' sont constants.
