INTÉGRATION DE TROIS ÉQUATIONS LINÉAIRES
635. La méthode précédente s'applique avec quelques modifications à l'intégration de trois équations linéaires simultanées à quatre variables x, y, s, u. Ces équations peuvent d'abord être mises sous la forme
dr
-J- + *y + q* + r* =vf
dx
Ajoutons ces trois équations après avoir multiplié la
seconde par 0 et la troisième par A. On a ainsi
dr „ dz ^ du , ^ . ^ n„^.
-T-4-0— -4- A — 4-P-+-P'Ô-+- P" A / eu? a.»: a*
= V+V0 -f-VX.
Posons
(a) / -r Bz +- à« = r,
d'où
rfr <fz **" de dQ d\
dx dx dx dx dx dx
L'équation (î) devient
dt dB d\ . .A ->«* » . * k \
z- « + (p -l p'e-j-P/'À)(r— ôz — lu)
dx dx ojl'
^ ) ' |(Q + Q'ô-HQ/,A)z-h(R-f.R/e-hR,/X)tt
= V-r-V'e-4-VrA.
Cette équation ne renferme s et u qu'au premier degré. En égalant à zéro les coefficients de ces variables, on réduira l'équation (3) aux suivantes :
dQ
(5) ^ 4. (p -i- p'0 -4- p"A)> R — R'9 R"X = O, au:
(6) ^ + (V-r-P'Q-hVff\)t — V — V'8 — V"a = o. dx
Les deux premières équations ne contiennent que 0 et / : elles sont du premier ordre, mais non linéaires. On ne sait donc pas les intégrer en général. Néanmoins, si Ton connaît trois intégrales particulières 019 0t, 0S et trois valeurs correspondantes At, /t, a8, on pourra déterminer les intégrales cherchées. En effet, pour un système de valeurs simultanées 0t et Àl9 l'équation (6) qui est linéaire et du premier ordre donnera une intégrale correspondante tx , cou tenant une constante arbitraire. On aura de même
deux autres valeurs t, et t% correspondant aux deux autres systèmes 0, et \, 0B et A8« Les trois intégrales seront donc
(7) / j+0,z4-)1«"-fî|
( y -4- 03 z -+- X, tt = f3.
Les valeurs de^, s, u qu'on en déduira contiendront chacune trois constantes arbitraires.
636. Dans les cas où les coefficients P, Q, R, P', . . . sont constants, les équations (4) et (5) sont satisfaites par les valeurs constantes de 0 et de à que déterminent les équations
En portant dans la seconde équation la valeur de A tirée de la première, on aura une équation du troisième degré en 0, qui fournira, en général, trois valeurs distinctes de celte variable, 0j, 9t, 0S. L'équation (8), étant du premier degré en X, fournira trois valeurs correspondantes, Aj, A,, A*.
L'élimination peut se faire de la manière suivante. En posant
(10) P + P'0-f-P*Jt = p, on aura les trois équations
( P-p + P'ô + Pn^o,
(11) JQ-MQ'- 0)0 + 0*1 = 0,
L'élimination de 0 et de "k entre ces trois équations donne l'équation finale
(p-PHp-Q'Hp-R'j-R'Q'fp-P)
— RP"(p — Q' ) — QP/(p — R") — QR'P" — RP'Q":=: o. Soient pi, pt, pz les trois racines de cette équation.
IJO COURS D ANALYSE.
L'équation (6) prenant la forme
-j- +pf = v-hV'o h- va,
on aura (511)
t = c-Pxïc+ f(VH-V'Ô-hV*>ï^*<tel.
On déduit de là, en remplaçant successivement p par pl? o2, o3, et 9, X par les valeurs correspondantes, trois valeurs de t contenant chacune une constante arbitraire. Le système proposé aura donc pour intégrales les trois équations
' y + Qlz + \xu = e-P*'\ci+ f[V+\'Ol-h\'''kl)eP'xd.r\ (12) < j-Mi* + X>K = <r"*x[cH- /(V-?-V/01-!-V<r>,)^«*rfal,
/ + Ôj: + ).3« — c p
8JTr3-4- f(V-+-V'0,-l-Vni)^-*f*rl
