AUTRE MÉTHODE

637. On peut suivre dans l'intégration des équations linéaires simultanées la même marche que dans les équations différentielles ordinaires, c'est-à-dire ramener le cas général à celui des équations privées de second membre. Nous allons effectuer cette réduction dans le cas où les coefficients des premiers membres sont constants.

Remarquons d'abord que si l'on connaissait trois systèmes de fonctions (r,, c,, */,), [y^, zt, ut). (/8, £3> «») satisfaisant aux équations

dy

dx

on y satisferait encore en posant

comme on s'en assure par la substitution, et Ton aurait les intégrales générales, puisque ces formules contiennent trois constantes arbitraires Cj, ct, r8.

Cherchons maintenant à résoudre les équations (I) par des valeurs de la forme

p, u, v désignant des constantes inconnues. La substitution de ces valeurs donnera les équations

é i P — p-4-Qp + Rv — o,

L'élimination de ^ et de v entre ces équations conduit à une équation du troisième degré en p, la même que Ton a déduite (636), par l'élimination de 0 et de A, des équations

f p — p-+- p'9-*. pn^o, (3) JQ-MQ'-p)* + <n = of

car on arriverait à ce dernier système en ajoutant les équations (2) respectivement multipliées par 1, 0 et A, et en déterminant 0 et X de manière que les termes qui contiennent fi et v disparaissent d'eux-mêmes.

Les trois valeurs de p étant désignées par p,, pf, p8, et les valeurs correspondantes de u et de v par fx,, pu fjt3, v„ v,, v8, on aura trois solutions particulières d'où Ton déduira la solution générale