r+Pr +Q« + R« — o

— -4- P"y H- Q"z H- R"a = o, dx

et telles, que pour x = ar on ait

Pour trouver des fonctions Y, Z, U qui remplissent ces conditions, il suffira de déterminer les constantes qui entrent dans les intégrales générales du système (u),

2 = ¥,(*, c(, ca, r3),

de manière que Ton ait

( F (a) "*"? (a, r„c2, c3\ (4) ] F.(«) r":?i(a>ci>^^)»

( F,(a):=?2(a, c„^,ca).

On aura les fonctions cherchées en portant dans les équa-

i^4 cours d'analyse.

tions (3) les valeurs de ct, ct, c8 déduites des équations (4).

640. Maintenant je dis que les équations (i) seront satisfaites en posant

Yda, z= I Zda, u=j \Jd*.

o Jo J o

En effet, d'après l'hypothèse, on aura

*xdX

dJL-Ç

d* Jo

dxd*~*~¥ ^'

et, en substituant dans la première des équations (i), ¥{x)z=zf ^da-hP j Yda-hQj Zd*

-t-R l Urfa + F(x).

Cette équation est identique, car elle revient à

da ( ~ -+- PY -4- QZ -f- RU ) = o,

et la quantité renfermée entre parenthèses est nulle par hypothèse. On vérifiera de la même manière que les deux autres équations du système sont satisfaites.

On a donc une solution particulière du système (i) : désignons-la par (yuzuiix). Mais si dans les équations (î) on remplace y, z, u par y -+- yï9 z -h zs, 11 -f- #2,, on obtiendra le système (a). Donc, en ajoutant aux valeurs (5) les intégrales générales (y, z, u) des équations privées de second membre, on aura intégré complètement le système (t).