PARTIELLES

Des différentes espèces d'intégrales. — Equations qui se ramènent aux équations différentielles ordinaires. — Équations linéaires du premier ordre a deux variables indépendantes. — Cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. — Équations aux différentielles totales. — Équations aux dérivées partielles du premier ordre, non linéaires, à deux variables indépendantes.

DES DIFFÉRENTES ESPÈCES d'iNTÉGHALES.

642. On nomme équation aux dérivées partielles d'ordre p. une équation qui renferme plusieurs variables indépendantes, xt, x2, ..., xn par exemple, une fonction inconnue z de ces variables et une ou plusieurs des dérivées partielles de z par rapport à #,, jt2, ..., xn jusqu'à Tordre [x inclusivement. Comme pour les équations différentielles ordinaires, il est possible de remonter de l'équation aux dérivées partielles d'ordre pi à d'autres équations qui ne renferment plus que des dérivées d'ordre inférieur à jjl, ou même qui ne renferment plus que x{ , #2, . • . , xn et z ; dans ce dernier cas on a une intégrale finie de l'équation proposée.

Si, d'une telle intégrale, on tire les valeurs de z et de ses dérivées partielles pour les substituer dans l'équation donnée, celle-ci doit être identiquement satisfaite.

643. Une équation du premier ordre ne peut naturellement avoir que des intégrales finies de la forme

(i) F(a?„ xu ...,xn,z) = o;

cette équation est appelée intégrale générale de l'équa-

Stuhii. — Jn., II. • 12

1^8 COURS DIALYSE.

tion proposée si la valeur qu'elle fournit pour z peut, pour une certaine valeur $ attribuée à xKy par exemple, coïncider avec une fonction, choisie comme on voudra, des autres variables x^ #3, . . . , xu\ il faut évidemment pour cela qu'il figure une fonction arbitraire dans l'équation (1).

Une intégrale particulière est une intégrale comprise comme cas particulier dans l'intégrale générale ; une intégrale singulière est celle qui, tout en satisfaisant à l'équation proposée, ne rentre pas dans l'intégrale générale.

Enfin Lagrange a nommé intégrale complète une intégrale dans laquelle figurent autant de constantes arbitraires qu'il y a de variables indépendantes dans l'équation proposée.