ÉQUATIONS QUI SE RAMENENT AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES

64t. Nous commencerons par le cas particulier très simple où les dérivées partielles renfermées dans l'équation ne sont relatives qu'à une seule variable. Il faut alors opérer comme si l'on avait une équation différentielle ordinaire , mais après l'intégration on remplacera les constantes arbitraires par des fonctions arbitraires des autres variables indépendantes. Soit, par exemple,

en regardant^ comme une constante, on a,

ii = xzy -h C,

et en remplaçant la constante C par une fonction arbitraire de v,

On trouvera de même que l'intégrale de l'équation

du

xy — — h au = o

est

y*u* = tf(x),

<?(.r) désignant une fonction arbitraire de x.

645. Ce procédé peut quelquefois s'étendre à des équations où entrent des dérivées partielles relatives à deux variables. Soit, par exemple,

. v d*u du

t> du

il»n posant — = p, on a

dy "*"

ap = xy,

équation linéaire du premier ordre qui donne

(2) p rr tr*ï <p(.r) h- ar / yeV dy 1

d'après la dernière formule du n° 511, où la constante arbitraire C est remplacée par la fonction arbitraire cp ( r). Si maintenant ou intègre l'équation (a) par rapport à x, on aura

« = e-*r I y{x)dx-{- - x*tf-a/ lyt^dy -f- ^ (7),

^(.7) désignant une fonction arbitraire dej^. Comme d'ailleurs

yt?rdy=z — {ay — i),

aà

et que fy[x)dx peut être remplacé par une fonction arbitraire x(x)< on aura définitivement

équations linéaires du premier ordre a deux variables indépendantes.