L'interprétation géométrique de cette formule est
facile; car ses deux membres représentent également le
Fig. io3.
volume ABCDA'B'C'D' cornpris entre la surface qui a pour équation z =f(x} y), le plan des xy et les quatre plans qui ont pour équations
x =■ a, x = b9 jr = c, y = d.
DÉTERMINATION DE l' INTÉGRALE
sin". xdx.
457. On peut déterminer une intégrale définie quand on connaît l'intégrale indéfinie; mais il y a souvent des simplifications. Ainsi, quand on a
jf(x)dx = f{x)+U[x)tix9
il en résulte
f f[x)dr = f[b)-f{a) H- f )(x)dx.
et si $(x) est une fonction plus simple quet/(x), l'intégrale cherchée sera ramenée par cette formule à une intégrale plus simple.
Soit, par exemple, l'intégrale
Tt
s\nnxdx.
«,.= I si Jo
En intégrant par parties, on a I smmxdx = l sin"-1.* d( — cosjt)
— — sin*"1 x cosx -f- ( n — i ) / sinn"~a.r cos* xdx\
ou bien, en remplaçant cos*ar par i — sin'tf,
I sin" xdx = — sin"-1* cos.r -+-(/? — i) / sin""* xdx
— [n — i) 1 sin" xdx.
De là on tire
/sin" xdx = sin"-1 x co%x h / sin"-"' xdx, n n J
Intégrons maintenant entre les limites o et -* et obser- 0 2
vons que le premier terme du second membre s'annule
à ces deux limites, n étant plus grand que 1 : il viendra
(l) itn= "«-»•
Soit n un nombre pair : nous aurons successivement
W« — 4 — 7 Un—c i
Jo %
Si Ton multiplie toutes ces équations membre à membre, il vient . . « 1 *3 5 /? — 1
En changeant /* en n -H 1 dans la formule (1), on aura
^ il -h I
TRENTE- SEPTIEME LFCOW,
et ensuite
"it-M
at= / sin-reir = i.
En multipliant toutes ces équations membre à membre, on aura
4o8. La formule (1) ne peut plus servir à la détermination de un quand n n'est pas un nombre entier; mais on peut l'employer, dans ce cas, à réduire l'indice audessous de l'unité.
Dans tous les cas, en faisant jy = sinjr, l'intégrale
smnxdx o
se ramène à la suivante
l0 V^-r qui est algébrique.
FORMULE DE WÀLLIS.
459. Les formules (a) et (3) conduisent à la valeur de — exprimée par un produit d'une infinité de facteurs. En effet, puisque sinx est moindre, que l'unité, on a
sir^x^ sinn+,j?
lO COURS D'ANALYSE.
pour toutes les valeurs de x comprises entre o et -} donc on a
Jsinnxdx^> j sin^+'jrflfe:, o J o
c'est-à-dire
De là, et des formules (2) et (3) trouvées plus haut (457), on tire
ir a 2 4 4 * n
2 1 3 3 5 n — 1 B + i On aura de même
ou bien
«2244 " n fl+î
Donc, si Ton pose
on aura
= >A et l<k^±^=k(i+-^-)
2 2 /I-4-I \ fl + l/
Il en résulte que
a étant une quantité plus petite que » et comme
ceci est vrai, quelque grand que soit n9 on aura, en supposant n = 00 ,
Celte formule remarquable a été découverte par Wall i s.
TREMTE-SEPT1EMB LEÇON, 11
EXERCICES
i . Démontrer que
n sin mx
Q s\nx
dx = it
m étant un nombre entier positif et impair. 9 l m dx = la.
