On donne le nom $ intégrale eulèrienne de se

conde espèce à l'intégrale définie

(0 r(it) = f

x*~x t:~*dx.

On doit supposer n positif*, car si n était égal au nombre négatif — p, l'intégrale considérée aurait une valeur infinie. En effet, on #, a étant compris entre oeli,

Ja e ' *X+P Ja ~C x~ c a"

or, poura = o, -1- est infini : l'intégrale I x p~*e xdx

c a Jo

est donc infinie, et il en est de même, à fortiori, de Pintégrale / x~p~Ae~xdx.

461. L'intégrale F (n -h ï) peut se ramener à T (n). En intégrant par parties, on a

/ x*e~*dx =: — xne~* -h n j <r~*

xn~*dx.

Or, xne~x s'annule pour x = o, et aussi pour x = c~ En effet, puisque

JJ

TUEHTE-HU1TIÈME LEÇON. 1$

on a, quel que soit i, par conséquent

ri-n

Or, quand on prend i]>", ce qui est évidemment permis, le second membre devient infini pour x = oc . Donc le produit x~nex devient aussi infini, et par conséquent son inverse oc*é~* devient nul pour x = oo .

D'après cela, si Ton intègre entre les limites o et oo , on aura

Jf»00 /»00

afe-'dx—n I e-*Jc*~l(Lt, O v O

(2) r(m-i) =nr{n).