z = arc tan g a -+- C
ou, en remplaçant a par ->
\.z = arctang- -f- C.
Il était facile de voir a priori que le premier membre de l'équation (i) devient une différentielle exacte si on
le multiplie par — - — ; on en aurait immédiatement
conclu l'intégrale.
ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE, NON LINÉAIRES, A DEUX VARIABLES INDÉPENDANTES.
660. Parmi les équations non linéaires aux dérivées partielles du premier ordre, nous considérerons seulement celles qui ne renferment que deux variables indépendantes : on peut les regarder comme définissant une infinité de surfaces, et cette interprétation géométrique leur donne un intérêt particulier; mais surtout on peut les intégrer par une méthode très simple, qui ne se généralise pas sans complication. Soit
l'équation qu'il s'agit d'intégrer. Si l'on connaissait, en fonction de x, y et*, les dérivées partielles p et q qu'on peut déduire d'une intégrale de l'équation proposée, on aurait la différentielle totale dz sous la forme
(i) dz = Vdx-hQdy,
et l'on retrouverait z en intégrant une équation aux différentielles totales (657), ou une différentielle à deux variables (498), selon que P et Q contiendraient ou ne contiendraient pas z.
Les valeurs de p et de q doivent satisfaire identiquement à l'équation (î) et de plus à la relation générale
K3) dy dx
Proposons-nous de former une équation
qui, associée à l'équation (î), donne pour/? et q des va-
Stcrm. — An. y II. *3
ip4 cours d'analyse.
leurs remplissant la dernière condition. Différentions les
équations (i) et (4) par rapport à x9 puis k y : on aura
d-r-pTz + irpTx + TqTx-0' dx+----°'
dl+qdi+dfdP+dtdJL=0 *U...= 0.
Éliminant ~ entre les deux premières équations, -jentre les deux dernières, nous aurons
iL^s. ^ f*? (W dl-.dld±\
dp dx dx dp " \dp dz dz dp)
~" \dq dp dp dq) dx'
( y dq dq dy ^ \dz dq dq dz)
= (4L *$. __Q *5\*P% \ dq dp dp dq ) dy
Pour que l'équation (3) soit satisfaite, il faut que les seconds membres des équations précédentes soient égaux 5 c'est d'ailleurs suffisant, parce que le binôme
df do df do ■. a. ■ i • . i
-y- -r- — -y- ~- ne saurait elre identiquement nul sans que
dp dq dq dp * n
les équations (i) et (4) donnent pour p et q des valeurs indéterminées.
L'équation à laquelle cp doit satisfaire s'obtient en égalant les premiers membres des dernières équations, et peut s'écrire
) dp dx dq dy ~^ \ dp dq ) dz
i (df+df\d* (df +adf\df*-o-
[ ^\di^Pdz)Tp~\^^qd-z)d^- °'
toute solution de cette équation permettra de déterminer des valeurs convenables pour p et qy de former Téquation (2) et d'en déduire une intégrale, plus ou moins générale, de l'équation proposée.
CINQUANTE ET UNIÈME LEÇON. ICp
D'après ce qui a été établi, d'une manière générale, au n°629, l'équation linéaire aux dérivées partielles (5) sera satisfaite si Ton prend pour <p une intégrale quelconque, a désignant une constante,
du système d'é juations simultanées
dx dy
dz — dp — dq
dp dq
~ df df ~~ df df "~ df df * dp ^ dq dx * dz dy * dz
Il n'est pas nécessaire que l'intégrale soit résolue par rapport à la constante arbitraire, et on peut la prendre sous la forme
cette équation, jointe à l'équation (i) permettra de déterminer £> et q en fonction de #, y, z, a, et de former l'équation (2); la condition de son intégrabilité est naturellement satisfaite, et l'on pourra trouver son intégrale, renfermant une nouvelle constante arbitraire 6,
qui est en même temps une intégrale de l'équation proposée : ce n'est qu'une intégrale complète (643), mais il est bien facile d'en déduire l'intégrale générale.
661. Si nous différentions l'jquation (7) par rapport à x et à y, nous aurons
d¥ dF d¥ dV
dr ■ dz dy I dz
Puisque l'équation proposée admet pour intégrale l'équation (7), elle doit être satisfaite identiquement, quelles que soient les valeurs des constantes a et &, quand on y remplace z, p et q par leurs valeurs fournies par les équations (7) et (8).
Cela posé,. imaginons que dans l'équation (7) ncu> remplacions a par une fonction a de x, y et z et que
uj6 cours d'analyse.
nous posions b = ^(a), ty désignant une fonction quelconque. On peut choisir a de manière que l'équation
(7 bis) F[x, y, z, a, $(%)] = o
soit encore une intégrale de la proposée. A cet effet, je la différentie par rapport à x et à y, ce qui donne
(8 bis)
dF dx
dF [dF d¥ l#/ ,1/rfa d%\
] dF dF [dF dF.t,/\/d% d%\
Les équations (7 6w) et (8 6/5) donnent maintenant z, p et q\ mais si Ton choisit a de manière que Ton ait / \ dF dF
les valeurs de z, p et q ne diffèrent que par le changement de a en a, de b en »|, de celles que donnaient les équations (7) et (8); elles satisfont identiquement à l'équation (1). L'équation (7 bis), dans laquelle a serait remplacé par sa valeur en x,y, z tirée de l'équation (9), est donc une intégrale de la proposée; d'ailleurs, comme on ne peut résoudre l'équation (9) si l'on ne particularise pas la fonction <j>, on conservera le système des deux équations (j bis) et (9) pour représenter l'intégrale obtenue. J'ajoute que c'est l'intégrale générale : car si l'on veut avoir z = &(jy) pour x = Ç, il faudra qu'on ait en même temps
dF dF
l'élimination de jk, qui est possible, conduit à une équation en a, <{>(a) et <|/(a), propre à déterminer la forme de la fonction ty.
L'intégrale complète conduit aussi à une intégrale singulière : remplaçons a et b par des fonctions a, j3 de
#, y, z déterminées par les deux équations
dV d?
(lo) ^=°' 5?=0Î
les valeurs de s, p et q tirées de l'équation
(7 ter) F(or, 7, 45, a, P) = o
auront la même forme que les valeurs tirées de (7); l'équation (7 ter) associée aux équations (10) est donc encore une intégrale de l'équation proposée.
Au point de vue géométrique, l'intégrale complète (7) définit un réseau de surfaces dont l'enveloppe (283) est représentée par l'intégrale singulière. Si l'on pose a = <!>(#), l'équation (7) ne représente plus qu'un faisceau de surfaces dont l'enveloppe (282) est définie par l'intégrale générale.
On pourra reconnaître que la méthode qui nous a permis de passer d'une intégrale complète à l'intégrale générale s'applique sans difficulté au cas de n variables indépendantes. Soit
l'intégrale complète donnée : on regarde une des constantes, a„ par exemple, comme fonction des n — 1 autres, et l'intégrale générale est le résultat de l'élimination de <7{, a2, ..., an K entre l'équation (n) et ses, dérivées relatives aux paramètres al} a2, ..., an K.
