SURFACES CYLINDRIQUES

663. On appelle surface cylindrique toute surface engendrée par une droite indéfinie MN qui se meut parallèlement à une droite donnée OD, en s1 appuyant constamment sur une courbe donnée ÀB, nommée directrice.

Soient

les équations de la génératrice MN : a et b sont des coefficients constants qui expriment que MN est toujours parai - Fîg. Il3« lèle à ODj a et 6 désignent des

paramètres variables avec la position de la génératrice. Soient

les équations de la directrice AB.

On exprimera que cette courbe et la génératrice se rencontrent, en éliminant x, y et z entre les équations (i) et (a). Si

est le résultat de cette élimination, il faudra, pour avoir l'équation de la surface cylindrique, éliminer a et 6 entre les équations (i) et (3), ce qui donne

OU

(4) y — bz = *(x — az),

4> désignant une fonction quelconque. C'est l'équation la plus générale, en quantités finies, des surfaces cylin- • trique

Réciproquement, toute surface dont l'équation a la forme (4) est cylindrique, car cette surface contient le9 droites parallèles qui ont pour équations

x — az = a ,

y — bz = 6 ,

les constantes a et S satisfaisant à l'équation S = $(«).

664. Pour avoir l'équation aux dérivées partielles des surfaces cylindriques, on difTérentiera l'équation (4), tour à tour par rapport à x et à y : en posant

^ ~~~ dx ' ^ ~" dy ' on a

— bp = 4>'(;r — a^)(i — a/)),

i — 6£ = — 4>'(j7 — <xs) x aq, d'où résulte, en éliminant ty\x — az) ,

(5) ap + bq = \, U^uf^^^^.ft-^^

équation générale, auxdérivées partielles T des surfaces * "'*

cylindriques.

665. Cette équation exprime que le plan tangent à la surface est toujours parallèle aux génératrices.

En effet, le plan tangent mené par un point quelconque (x<,y, z) de la surface a pour équation

et la condition pour que ce plan soit parallèle à la droite

X = aZ, Y = bZ.

est, comme l'on sait,

ap-*r bq =i.

666. Pour intégrer l'équation, aux dérivées partielles, des surfaces cylindriques,

ap -t- bq = i , il faut d'abord (648) intégrer le système

d.r dy

ce qui donne

x — azz=zc, y — bz-=.c*\

par conséquent, l'équation ç ( x — azy y — bz) = o, ou

y — bz = <ï> {x — az) , est F intégrale cherchée.

667. La fonction arbitraire 4>, qui entre dans Pintégrale générale, peut être déterminée par diverses conditions.

Si, par exemple, on veut que la surface cylindrique passe par une courbe donnée

(j) F(jt, y,z) = o9 Ft(x, y, z)=o,

on posera

(2) x — az = a, y — £z = 6.

Les équations (1) et (2) doivent être satisfaites par les mêmes valeurs de x, yy z, pour que tous les points de la courbe soient sur la surface. En éliminant x, y. z entre oes quatre équations, on trouvera une relation telle que <f (a, 6) = o , d'où 6 = <J> (a) -, on aura donc par ce calcul la forme particulière de la fonction 4>.

668. Si la surface cylindrique doit être circonscrite à une surface donnée

(0 ¥(xfy,*) = of

on commencera par déterminer la courbe de contact, ce qui ramènera le nouveau problème au précédent. Or, l'équation (1) est déjà une des équations de celte courbe. On obtiendra une seconde équation en exprimant que la

CIKQV ASTE-DEtXIÈME LEÇON* %°*

surface donnée et le cylindre ont le même plan tangent en chaque point de cette courbe.

Le plan tangent à la surface (j) a pour équation

L'équation du plan tangent au cylindre est

on aura donc

dF

dF

dx dï'

n- dY

dz

dz

En ponant ces valeurs dans l'équation

ap -i- bç =:lf

on aura

dF . dF dF

dx dy dz

Les équatious (i) et (a) déterminent complètement la courbe de contact.