Pour intégrer l'équation (5), on résoudra le

système

de

dy

riz

x — a y — b z — c qui a pour intégrales

ce qui donne

X fl

« — c \z — cl

c'est-à-dire l'équation (4)* La fonction arbitraire 4> sera déterminée par la condition que la surface conique passe par une courbe donnée, ou soit tangente à une surface donnée. La marche a suivre pour résoudre ces problèmes est indiquée aux not 667 et 668.

SURFACES COIVOJDES.

672. On appelle sur/ace conoïde toute surface engendrée par une droite parallèle à un plan donné, nommé plan directeur, et qui est assujettie à rencontrer une droite et une courbe données.

Prenons pour plan des xy un plan parallèle au plan directeur, et pour axe des z la directrice recliligne.

Fiff. h 5.

Soient

F [x,jr,z)=of F. {x,jr9 z)=o

les équations de la directrice curviligne ÂB. Les équations de la génératrice MN seront

et si Ton élimine x, j, z entre les quatre équations (1)

et (a), on aura une certaine équation

exprimant que la génératrice MN rencontre la directrice AB. Si donc on élimine a et 6 entre les équations (a)

et (3), on aura <p ( z, - ) = o, ou

c'est, en quantités finies > l'équation àes^surfaces conoXdes^^. —

673. En différentiant l'équation (4), on aura d'où Ton conclut

(5) px + qjr=zo,

équation aux dérivées partielles des surfaçes__£pT noïdes.

Cette équation exprime que le plan tangent en un point quelconque M, contient la génératrice correspondante. En effet, si dans l'équation du plan tangent

on fait X z= o, Y ~ o, il en résultera

Z — z = — px — qy z= o, d'où Z = e.

Le plan tangent rencontre donc Taxe des z au même point que la génératrice KM, et, par suite, il contient cette droite avec laquelle il a déjà le point M commun.