SURFACES DE RÉVOLUTION

Maj£, 'Wh{<i IÊtV 674. Les surfaces de révolution sont celles que l'on /^T/^ ?u obtient en faisant tourner une certaine courbe autour

d'une droite fixe, nommée axe de révolution.

Pour plus de simplicité prenons l'origine sur Taxe OD.

Soit AMB la courbe génératrice. Dans le mouvement de

cette ligne chacun de ses points décrit une circonférence, et l'on peut considérer la surface de révolution comme le lieu des circonférences de cercle qui ont leurs centres sur Taxe, leurs plans perpendiculaires à cet

axe, et qui rencontrent la courbe AB.

Soient

les équations de la droite OD, et

( ax •+- by -f- cz = 8

les équations du cercle mobile, considéré comme Tintersection d'une sphère, ayant son centre au point O, et d'un plan perpendiculaire à Taxe OD.

Soient

les équations de la courbe AB. En exprimant que le cercle et la courbe se rencontrent, on parviendra à une certaine relation

et si Ton élimine ensuite a et S entre les équations (a) et (4)9 on aura

y (x7 -4- y2 -+• **> ax -+- bjr -h cz) = o ou

(5) ax -4- by -4- cz = * [x7 -4-/' -h z*),

équation générale, en quantités finies , des surfaces de révolution.

675. Pour obtenir l'équation aux dérivées partielles, on différentiera l'équation (5), ce qui donnera

a 4- cp = 2*'( x7 -+•/* 4- z*) (x 4- */>), 6 4- cq = *<&'(** + /» + sa) (^ + *?)>

d'où, en éliminant la fonction $',

fl + f/J x -4- z/?

s 0 4- cq y 4- zq

et, par suite,

(6) (cjr — bz)p 4- (az — cx)q=ibx — ajr,

équation aux dérivées partiellesjles surfaces-dé révo^ lution.

676. Cette équation exprime que toutes les normales d'une surface de révolution rencontrent Taxe.

En effet, si Ton élimine X, Y, Z entre les équations de la normale

( X — x4-/?(Z — z)=zo,

et les équations de Taxe

ce

on retrouve précisément l'équation (6).