PENTE
679. On appelle lignes de niveau sur une surface les sections faites dans la surface par des plans horizontaux. Supposons la surface rapportée à trois plans de coordonnées dont l'un, celui des xy par exemple, soit horizontal : une ligne de niveau quelconque se projettera sur ce plan en vraie grandeur, et l'équation de sa projection se déduira de celle de la surface en y remplaçant z par une constante convenable.
Quand on se déplace d'une manière quelconque sur
la surface, on a
dz —p dx -h q dy\
le long d'une ligne de niveau, dz est nul, et l'on a, pour
Sturm. — An., II. l4
le coefficient angulaire de la tangente à cette ligne ou à sa projection horizontale,
{l) dx q>
la tangente en un point quelconque de la ligne de niveau est une horizontale du plan qui touche la surface au même point.
680. Parmi toutes les droites menées par un point dans un plan, il en est une qui fait avec l'horizon un angle plus grand que toutes les autres : c'est la ligne de plus grande pente du plan, et Ton sait qu'elle est perpendiculaire à toutes les horizontales du plan.
Sur une surface, on appelle ligne de plus grande pente une ligne telle que sa langente MT en un quelconque de ses points, M, soit la ligne de plus grande pente du plan tangent en M; elle est plus inclinée sur l'horizon qu'aucune des droites qui touchent la surface au même point. La droite MT est perpendiculaire à l'horizontale MH du plan tangent, c'est-à-dire à la tangente à la ligne de niveau qui passe en M; pour que l'angle HMT, dont un côté est horizontal, soit droit, il faut et il suffit que les projections horizontales de MH et de MT soient perpendiculaires Tune à l'autre; nous avons vu (1) que le coefficient angulaire de la première
est — -: celui de la seconde doit être éffal à -> et l'on q b P
aura, tout le long d'une ligne de plus grande pente, (2) di^y pdy — qdx = o.
Si l'on remplace p et g par leurs valeurs en fonction de x et y tirées de l'équation de la surface, on pourra intégrer l'équation (2), ce qui fera connaître la projection horizontale d'une ligne de plus grande pente caractérisée par la valeur de la constante d'intégration; c'est
une trajectoire orthogonale des projections des lignes de niveau.
Pour qu'une ligne tracée sur une surface soit une ligne de plus grande pente, il faut et il suffit qu'elle soit orthogonale aux lignes de niveau qu'elle rencontre. Sur une surface de révolution à axe vertical, les parallèles sont des lignes de niveau ; les courbes méridiennes, orthogonales aux parallèles, sont les lignes de plus grande pente.
