Considérons un ellipsoïde défini par l'équation

(3) Ax*-hBy*-hCz* = H,

le plan des xy étant toujours horizontal. On voit que les lignes de niveau sont des ellipses homothétiques. Pour déterminer les lignes de plus grande pente, je tire de

l'équation (3)

Ax Br

^-G7' * = -cl;

si l'on porte ces valeurs dans l'équation (2), z disparaît et l'on a

dx Ax y x

Les intégrales des deux membres sont des logarithmes ; en passant aux nombres correspondants et désignant par m une constante arbitraire, on trouve

(4) yk = »uB.

Les lignes de plus grande pente sont, en général, à double courbure et se projettent horizontalement suivant des lignes paraboliques passant à l'origine : toutefois, en prenant m nul ou infini, on a les ellipses principales, dont les plans sont verticaux. La constante m se calcule en exprimant que la courbe (4) passe par un point donné; si ce point coïncidait avec l'origine, la valeur de m serait naturellement indéterminée.